Чтобы найти общий процент для двух групп, нельзя просто сложить их проценты и разделить на два, если численности групп различаются. Сначала узнайте, сколько человек с нужным признаком в каждой группе, сложите эти количества и разделите на число всех участников.
Формула: p_общ = (n₁p₁ + n₂p₂)/(n₁ + n₂), где n₁ и n₂ — численности групп, а p₁ и p₂ — проценты участников с нужным признаком в каждой группе. Результат выражен в процентах. Для расчёта через людей сначала найдите n₁p₁/100 и n₂p₂/100, затем разделите их сумму на n₁ + n₂ и умножьте на 100.
Почему среднее двух процентов может обмануть
Процент описывает долю внутри своей группы. Если в одной группе людей меньше, её процент относится к меньшему количеству участников. Простое среднее двух процентов придаёт обеим группам одинаковый вес независимо от их численности.
Поэтому полезно на время отложить проценты и перейти к людям. Спросите: сколько участников выбрали рисование в первой группе? Сколько — во второй? Сколько выбрали его всего и сколько всего было участников? После этих подсчётов общий процент становится обычной долей от общего числа людей.
Такой расчёт — пример среднего с учётом численности групп; правило взвешивания значений описано в открытом учебнике OpenStax. В задачах ниже каждый человек относится только к одной группе, поэтому численности и количества выбравших рисование можно складывать без повторного счёта.
Разобранные примеры
Пример 1. Группы сильно различаются по размеру
Условие. В первой группе 20 человек, из них 25% выбрали рисование. Во второй группе 80 человек, рисование выбрали 50%. Каждый человек входит только в одну группу. Какой процент всех участников выбрал рисование?
В первой группе рисование выбрали 20 × 25/100 = 5 человек. Во второй — 80 × 50/100 = 40 человек. Значит, рисование выбрали 5 + 40 = 45 участников из 20 + 80 = 100.
Общая доля равна 45/100 × 100 = 45%.
Ответ: 45%. Простое среднее процентов, 25% и 50%, не учитывало бы, что во второй группе участников вчетверо больше. Здесь расчёт через число людей сразу показывает, почему общий результат ближе к проценту второй группы.
Пример 2. Общий процент с дробной частью
Условие. В первой группе 40 человек, из них 50% выбрали рисование. Во второй группе 120 человек, рисование выбрали 75%. Каждый человек входит только в одну группу. Какой процент всех участников выбрал рисование?
Считаем участников, а не усредняем проценты. В первой группе рисование выбрали 40 × 50/100 = 20 человек. Во второй — 120 × 75/100 = 90 человек. Всего выбрали рисование 20 + 90 = 110 человек, а всего участвовало 40 + 120 = 160 человек.
Переводим общую долю в проценты: 110/160 × 100 = 68,75%.
Ответ: 68,75%. Дробная часть процента здесь получилась из точного деления. Округлять число до целого процента не нужно: условие этого не просит.
Пример 3. Точный ответ в виде дроби
Условие. В первой группе 60 человек, из них 25% выбрали рисование. Во второй группе 80 человек, рисование выбрали 50%. Каждый человек входит только в одну группу. Какой процент всех участников выбрал рисование?
В первой группе рисование выбрали 60 × 25/100 = 15 человек, во второй — 80 × 50/100 = 40 человек. Итого 15 + 40 = 55 человек из 60 + 80 = 140 участников.
Общий процент: 55/140 × 100 = 275/7%.
Ответ: 275/7%. Это точное значение. Если при делении получается бесконечная десятичная дробь, обычная дробь позволяет записать ответ без произвольного округления.
Характерная ошибка и проверка результата
Типичная ошибка — взять среднее процентов двух групп, не посмотрев на численность. В первом примере это заменило бы вопрос «сколько из всех 100 человек выбрали рисование?» другим вопросом — «какова середина между 25% и 50%?». Эти вопросы совпадают по ответу лишь при подходящих численностях, но в приведённом условии численности различаются.
Надёжная проверка состоит из двух частей. Во-первых, сложите найденные количества людей с признаком и убедитесь, что они не превышают общую численность. Во-вторых, сравните общий процент с процентами обеих групп: он должен лежать между ними. Если результат оказался меньше обоих или больше обоих, ищите ошибку в делении либо в переводе доли в проценты. Такая проверка помогает заметить промах, но не заменяет расчёт: несколько разных ответов могут лежать между исходными процентами.
Можно также решить каждую задачу двумя записями. Первая — через количества людей, как в примерах. Вторая — сразу по формуле p_общ = (n₁p₁ + n₂p₂)/(n₁ + n₂). Оба способа должны дать одно число. Если результаты разошлись, проверьте скобки в знаменателе и не забыли ли вы сложить численности групп.
Восемь задач: объединяем группы
В каждой задаче найдите общий процент участников, выбравших рисование. Сначала посчитайте число выбравших в каждой группе; затем сложите эти количества и разделите на общую численность. Если численности групп различаются, простое среднее двух процентов обычно не подходит. При равной численности оно даёт тот же ответ, что и подсчёт через общее количество участников.
Задача 4
В первой группе 80 человек, из них 50% выбрали рисование. Во второй группе 120 человек, рисование выбрали 75%. Каждый человек входит только в одну группу. Какой процент всех участников выбрал рисование?
Задача 5
В первой группе 100 человек, из них 25% выбрали рисование. Во второй группе 80 человек, рисование выбрали 50%. Каждый человек входит только в одну группу. Какой процент всех участников выбрал рисование?
Задача 6
В первой группе 120 человек, из них 50% выбрали рисование. Во второй группе 120 человек, рисование выбрали 75%. Каждый человек входит только в одну группу. Какой процент всех участников выбрал рисование?
Задача 7
В первой группе 140 человек, из них 25% выбрали рисование. Во второй группе 80 человек, рисование выбрали 50%. Каждый человек входит только в одну группу. Какой процент всех участников выбрал рисование?
Задача 8
В первой группе 160 человек, из них 50% выбрали рисование. Во второй группе 120 человек, рисование выбрали 75%. Каждый человек входит только в одну группу. Какой процент всех участников выбрал рисование?
Задача 9
В первой группе 180 человек, из них 25% выбрали рисование. Во второй группе 80 человек, рисование выбрали 50%. Каждый человек входит только в одну группу. Какой процент всех участников выбрал рисование?
Задача 10
В первой группе 200 человек, из них 50% выбрали рисование. Во второй группе 120 человек, рисование выбрали 75%. Каждый человек входит только в одну группу. Какой процент всех участников выбрал рисование?
Задача 11
В первой группе 220 человек, из них 25% выбрали рисование. Во второй группе 80 человек, рисование выбрали 50%. Каждый человек входит только в одну группу. Какой процент всех участников выбрал рисование?
Проверка общего процента
Сначала указаны количества участников, затем общая доля. Если получилась дробь, сохраняйте её как точное значение: бесконечную десятичную дробь не нужно выдавать за точное короткое число.
- 65%. В первой группе: 80×50/100=40 человек; во второй: 120×75/100=90; общий процент=(40+90)/(80+120)×100=65%.
- 325/9%. В первой группе: 100×25/100=25 человек; во второй: 80×50/100=40; общий процент=(25+40)/(100+80)×100=325/9%.
- 62,5%. В первой группе: 120×50/100=60 человек; во второй: 120×75/100=90; общий процент=(60+90)/(120+120)×100=62,5%.
- 375/11%. В первой группе: 140×25/100=35 человек; во второй: 80×50/100=40; общий процент=(35+40)/(140+80)×100=375/11%.
- 425/7%. В первой группе: 160×50/100=80 человек; во второй: 120×75/100=90; общий процент=(80+90)/(160+120)×100=425/7%.
- 425/13%. В первой группе: 180×25/100=45 человек; во второй: 80×50/100=40; общий процент=(45+40)/(180+80)×100=425/13%.
- 475/8%. В первой группе: 200×50/100=100 человек; во второй: 120×75/100=90; общий процент=(100+90)/(200+120)×100=475/8%.
- 95/3%. В первой группе: 220×25/100=55 человек; во второй: 80×50/100=40; общий процент=(55+40)/(220+80)×100=95/3%.
Если сложнее всего найти, например, 25% или 75% от числа людей, сначала разберите две задачи на проценты для ребёнка в 6 классе. После этого возвращайтесь к общей доле двух групп: здесь к обычному вычислению процента добавляется учёт численности каждой группы.