Чтобы решить линейное уравнение со скобками и x в обеих частях, сначала раскройте скобки, затем соберите слагаемые с x в одной части, числа — в другой. После деления на коэффициент при x подставьте найденное число в исходное уравнение. Если обе части стали равны, корень найден верно.
Здесь три примера с разбором и восемь задач для самостоятельной работы. Во всех них требуется найти все различные действительные корни. График не нужен: достаточно аккуратно работать со знаками и проверять ответ.
На что смотреть при раскрытии скобок
Множитель перед скобкой относится к каждому слагаемому внутри. Так, 3×(3x + 4) превращается в 9x + 12, а −2×(2x + 3) — в −4x − 6. Во втором случае меняются оба знака: отрицательное число умножается и на 2x, и на 3. Если после скобки стоит отдельное число, прибавьте или вычтите его уже после раскрытия.
Дальше можно прибавлять и вычитать одно и то же выражение с обеих сторон равенства. Удобно оставлять x слева, но это не обязательное правило. Например, из −4x − 4 = x + 21 можно вычесть x из обеих частей и прибавить 4 к обеим: −5x = 25. Отрицательный коэффициент не мешает решению — делим обе части на −5.
Проверка подстановкой — отдельное действие. Возьмите найденный x и вычислите левую и правую части до раскрытия скобок. Так ошибка в промежуточных преобразованиях не скроется за тем же ошибочным вычислением. Порядок «раскрыть скобки, собрать подобные, разделить и проверить» соответствует правилу, изложенному в OpenStax, Prealgebra 2e; числовые задачи ниже составлены отдельно.
Три примера с разбором
Пример 1. Минус перед скобкой
Решите в действительных числах: −2×(2x + 3) + 2 = 1×(x − 2) + 23. Укажите все различные корни.
Слева −2 умножаем на оба слагаемых в скобке: −4x − 6 + 2 = −4x − 4. Справа множитель 1 не меняет скобку: x − 2 + 23 = x + 21. Получаем:
−4x − 4 = x + 21 −5x = 25 x = −5.
Проверка в исходном уравнении: слева −2×(2×(−5) + 3) + 2 = −2×(−7) + 2 = 16. Справа 1×(−5 − 2) + 23 = −7 + 23 = 16. Части равны; ответ: x = −5.
Здесь легко потерять минус у числа 3 и записать −4x + 6. Чтобы этого не произошло, мысленно разделите умножение на два коротких действия: −2×2x и −2×3.
Пример 2. Сначала сложите числа
Решите в действительных числах: 3×(3x + 4) + 1 = 2×(2x − 1) − 5. Укажите все различные корни.
После раскрытия скобок левая часть равна 9x + 12 + 1, правая — 4x − 2 − 5. Складываем числа в каждой части и решаем:
9x + 13 = 4x − 7 5x = −20 x = −4.
Проверка: 3×(3×(−4) + 4) + 1 = 3×(−8) + 1 = −23. Правая часть: 2×(2×(−4) − 1) − 5 = 2×(−9) − 5 = −23. Ответ: x = −4.
Отдельная запись 9x + 12 + 1 полезна: она не даёт забыть единицу, которая стояла за скобкой. Если сразу перескочить к переносу слагаемых, потерянное число изменит корень.
Пример 3. Нулевое слагаемое и отрицательный коэффициент
Решите в действительных числах: −4×(4x + 5) + 0 = 1×(3x) + 37. Укажите все различные корни.
Ноль слева ничего не меняет, но множитель −4 действует на всю скобку. Справа 1×(3x) равно 3x:
−16x − 20 = 3x + 37 −19x = 57 x = −3.
Проверка: −4×(4×(−3) + 5) + 0 = −4×(−7) = 28. Справа 1×(3×(−3)) + 37 = −9 + 37 = 28. Ответ: x = −3.
Не меняйте знак ответа только потому, что коэффициент слева отрицательный. В строке −19x = 57 деление положительного числа на отрицательное даёт отрицательный корень.
Восемь задач для самостоятельной работы
Решите каждое уравнение в действительных числах и укажите все различные корни. Перед просмотром ключей попробуйте оставить на бумаге три строки: равенство после раскрытия скобок, равенство вида ax = b и проверку в исходном условии. Не считайте ноль или отрицательное число подозрительным ответом только из-за знака.
- 2×(5x + 6) − 1 = 2×(x + 1) − 7.
- −3×(6x + 7) − 2 = 1×(2x + 2) − 5.
- 4×(7x + 8) − 3 = 2×(3x − 2) + 33.
- −2×(8x + 9) − 4 = 1×(x − 1) − 38.
- 3×(9x + 10) − 5 = 2×(2x) + 71.
- −4×(10x + 11) − 6 = 1×(3x + 1) − 180.
- 2×(11x + 12) − 7 = 2×(x + 2) + 93.
- −3×(12x + 13) − 8 = 1×(2x − 2) − 235.
Если получился другой ответ, сначала сравните строку сразу после раскрытия скобок с ключом. Совпала она — ищите ошибку при переносе или делении. Не совпала — проверьте, на все ли слагаемые внутри скобки подействовал множитель и учтено ли число снаружи.
Ключи с пояснениями и проверкой
1. Ответ: x = −2
Раскрытие скобок даёт 10x + 12 − 1 = 2x + 2 − 7, то есть 10x + 11 = 2x − 5. Вычитаем 2x и 11 из обеих частей: 8x = −16, поэтому x = −2.
В исходном уравнении слева 2×(5×(−2) + 6) − 1 = 2×(−4) − 1 = −9. Справа 2×(−2 + 1) − 7 = −2 − 7 = −9. Корень подходит.
2. Ответ: x = −1
Слева получаем −18x − 21 − 2, справа — 2x + 2 − 5. Значит, −18x − 23 = 2x − 3. После переноса: −20x = 20, откуда x = −1.
Подстановка в исходное уравнение: −3×(6×(−1) + 7) − 2 = −3×1 − 2 = −5; справа 1×(2×(−1) + 2) − 5 = 0 − 5 = −5. Обе части совпали. Обратите внимание: −3×(6x + 7) даёт −18x − 21, а не −18x + 21.
3. Ответ: x = 0
После раскрытия скобок имеем 28x + 32 − 3 = 6x − 4 + 33. Числа по обе стороны складываются в 29: 28x + 29 = 6x + 29. Вычитаем 6x и 29 из обеих частей: 22x = 0, значит x = 0.
Проверяем именно ноль: слева 4×(7×0 + 8) − 3 = 32 − 3 = 29; справа 2×(3×0 − 2) + 33 = −4 + 33 = 29. Ноль — полноценный корень, его нельзя отбрасывать.
4. Ответ: x = 1
Левая часть после раскрытия равна −16x − 18 − 4 = −16x − 22. Правая равна x − 1 − 38 = x − 39. Из −16x − 22 = x − 39 следует −17x = −17, поэтому x = 1.
Подстановка: слева −2×(8×1 + 9) − 4 = −34 − 4 = −38; справа 1×(1 − 1) − 38 = −38. Здесь отрицательные обе части равенства, но корень положительный — знак значения части не определяет знак x.
5. Ответ: x = 2
Получаем 27x + 30 − 5 = 4x + 71, или 27x + 25 = 4x + 71. Отсюда 23x = 46 и x = 2. Скобка 2×(2x) справа даёт 4x: никаких других слагаемых в ней нет.
Проверка: 3×(9×2 + 10) − 5 = 3×28 − 5 = 79. Правая часть: 2×(2×2) + 71 = 8 + 71 = 79.
6. Ответ: x = 3
Раскрываем скобки и объединяем числа: −40x − 44 − 6 = 3x + 1 − 180, то есть −40x − 50 = 3x − 179. Получаем −43x = −129; деление обеих частей на −43 даёт x = 3.
В исходном равенстве слева −4×(10×3 + 11) − 6 = −4×41 − 6 = −170. Справа 1×(3×3 + 1) − 180 = 10 − 180 = −170. Если у вас вышло −3, проверьте деление двух отрицательных чисел.
7. Ответ: x = 4
После раскрытия: 22x + 24 − 7 = 2x + 4 + 93. Упрощаем до 22x + 17 = 2x + 97, затем 20x = 80 и x = 4.
Проверка в исходной записи: 2×(11×4 + 12) − 7 = 2×56 − 7 = 105. Справа 2×(4 + 2) + 93 = 12 + 93 = 105. Число 93 стоит за скобкой, поэтому умножать его на 2 нельзя.
8. Ответ: x = 5
Левая часть превращается в −36x − 39 − 8 = −36x − 47, правая — в 2x − 2 − 235 = 2x − 237. Из −36x − 47 = 2x − 237 получаем −38x = −190, значит x = 5.
Подстановка: −3×(12×5 + 13) − 8 = −3×73 − 8 = −227. Справа 1×(2×5 − 2) − 235 = 8 − 235 = −227. Равенство выполнено.
Во всех восьми задачах коэффициент при x после переноса не равен нулю, поэтому найденный и проверенный корень — единственный. Если тренируетесь решать уравнения именно при подготовке к ОГЭ: как решать уравнения и проверять корни, используйте этот практикум для отработки скобок и переноса слагаемых, а не как замену разбору остальных типов уравнений.