Точку на координатной плоскости задают двумя числами в определённом порядке: сначала горизонтальное положение x, затем вертикальное y. Запись A(3; −2) означает: от начала координат пройти на три единицы вправо и на две вниз. В месте остановки и находится точка A.
Чтобы прочитать координаты уже отмеченной точки, мысленно пройдите от неё к осям: сначала определите положение по горизонтали, потом по вертикали. Дальше разберём, как устроена плоскость, что делать с нулём и отрицательными числами и как заметить ошибку, если точка оказалась с другой стороны оси.
Подготовьте оси и единичный отрезок
Нарисуйте две прямые, пересекающиеся под прямым углом. Горизонтальная прямая — ось x, вертикальная — ось y. Точку пересечения обозначьте O: это начало координат. Её координаты O(0; 0).
На каждой оси отметьте единицу измерения. Например, одна клетка тетради может означать одну единицу. Важно сохранить одинаковое расстояние между соседними числами на каждой отдельной оси: нельзя поставить 1 через клетку, 2 ещё через клетку, а 3 — сразу через четыре. Для первых упражнений удобно взять одну клетку за единицу на обеих осях.
Справа от O на оси x располагаются положительные числа, слева — отрицательные. Выше O на оси y находятся положительные числа, ниже — отрицательные. Нуль подписывают один раз, в точке пересечения. Стрелки на концах осей показывают, что числовые направления продолжаются дальше рисунка.
Если на листе нет клеток, сначала отложите одинаковые отрезки линейкой и подпишите хотя бы несколько делений. Без масштаба запись A(3; 2) укажет направление, но не позволит точно выбрать место точки.
Отметьте точку по готовой паре чисел
Возьмём B(−4; 2). Первое число относится к оси x: от O нужно отсчитать четыре единицы влево. Второе относится к оси y: от полученного положения подняться на две единицы. Поставьте небольшую точку и рядом подпишите B.
Полезно вести палец или кончик карандаша в том же порядке, в каком записаны числа:
- Найдите начало координат.
- Пройдите по горизонтали на столько единиц, сколько показывает x. Знак подскажет направление.
- От этой позиции двигайтесь по вертикали на значение y.
- Поставьте точку только после обоих перемещений.
Представьте, что вы провели через B тонкие линии, параллельные осям. Вертикальная линия встретит ось x у числа −4, а горизонтальная — ось y у числа 2. Это удобная проверка: каждая координата должна вести к своему числу.
Теперь попробуйте C(2; 3) и D(2; −3). Обе точки стоят на одной вертикальной линии, потому что у них одинаковый x. Но C находится выше оси x, а D — ниже: знаки вторых координат различаются. Если на рисунке получилась одна точка, вы пропустили знак минус.
Прочитайте координаты отмеченной точки
Когда точка уже нанесена на рисунок, не оценивайте оба числа «на глаз» одновременно. Сначала посмотрите, какое деление оси x находится прямо под точкой или над ней. Затем найдите деление оси y на той же высоте, что и точка. Запишите пару как (x; y).
Например, точка E находится на три клетки левее вертикальной оси и на одну клетку ниже горизонтальной. Её координаты E(−3; −1). Расстояния здесь равны трём и одной клетке, а знаки показывают стороны осей.
Если точка расположена между делениями, координата может быть дробной. При масштабе «одна клетка — одна единица» середина между x = 1 и x = 2 соответствует x = 1,5. Не округляйте положение до ближайшего целого, если по рисунку видно, что точка стоит посередине.
На неаккуратном рисунке точную дробную координату иногда определить нельзя. Тогда ориентируйтесь на подписанные деления и условие задачи. Клетка помогает читать график, но не заменяет обозначенный масштаб.
Разберитесь с четвертями
Оси делят плоскость на четыре части — четверти. Их считают против часовой стрелки, начиная с верхней правой части. Для проверки знаков достаточно запомнить расположение:
| Четверть | Где находится точка | Знаки (x; y) | Пример |
|---|---|---|---|
| I | справа и сверху | (+; +) | (2; 4) |
| II | слева и сверху | (−; +) | (−2; 4) |
| III | слева и снизу | (−; −) | (−2; −4) |
| IV | справа и снизу | (+; −) | (2; −4) |
Таблица помогает проверить уже поставленную точку. Допустим, вы отметили F(−5; 3) справа от вертикальной оси. По знаку x она должна быть слева, во II четверти. Значит, ошибка возникла на первом перемещении; менять местами числа или переделывать весь рисунок не требуется.
Номера четвертей нужны для описания положения, но не заменяют координаты. Фраза «точка во II четверти» не говорит, насколько далеко она от осей. Под эту фразу подходят и (−1; 1), и (−8; 6).
Что происходит, если одна координата равна нулю
У точки G(0; 4) нет смещения по горизонтали. Она стоит прямо на оси y, на четыре единицы выше начала координат. У точки H(−3; 0) нет смещения по вертикали: она находится на оси x, на три единицы левее O.
Точки на осях не относят ни к одной четверти. Это важная граница правила о знаках: запись (0; −2) нельзя назвать точкой IV или III четверти, хотя она расположена в нижней половине рисунка.
Чтобы не перепутать оси, проговорите, какое число исчезло. x = 0 означает отсутствие движения вправо или влево, поэтому точка остаётся на вертикальной оси. y = 0 означает отсутствие движения вверх или вниз, поэтому точка остаётся на горизонтальной оси.
Проверьте рисунок на зеркальную ошибку
Сравните пары K(3; 2), L(−3; 2), M(3; −2) и N(−3; −2). У всех одинаковые расстояния до осей, но места разные. K и L расположены по разные стороны оси y. K и M — по разные стороны оси x. N находится напротив K через начало координат.
Поэтому проверка «три клетки и две клетки» недостаточна. Спросите отдельно: «В какую сторону от вертикальной оси?» и «В какую сторону от горизонтальной?» Знаки ответят на эти вопросы быстрее повторного подсчёта клеток.
Есть и другая ошибка: перестановка координат. Точка P(4; 1) расположена далеко вправо и немного выше O. Точка Q(1; 4) — немного вправо и высоко. Обе находятся в I четверти, поэтому проверка только по знакам здесь не поможет. Сверьте подписи осей и прочитайте пару слева направо: x, затем y.
Если ребёнок замечает промах лишь после записи ответа, можно попросить его вслух назвать оба перемещения и сравнить их с рисунком. Этот приём подробно описан в статье «Считает вслух — находит ошибку сам: приём для домашки по математике».
Короткая практика с разбором
Отметьте на одной плоскости A(−2; 3), B(4; −1), C(0; −3), D(−4; 0). Перед тем как поставить точки, предскажите их положение: A — слева сверху, B — справа снизу, C — на вертикальной оси ниже O, D — на горизонтальной оси слева от O.
После построения проверьте каждую точку двумя воображаемыми линиями к осям. У A вертикальная линия должна прийти к −2 на оси x, горизонтальная — к 3 на оси y. У C вертикальная линия совпадёт с самой осью y: это нормально, ведь её первая координата равна нулю.
Затем найдите две точки с одинаковой первой координатой, например R(−1; 4) и S(−1; −2). Они должны лежать на одной вертикальной линии. Для точек T(−3; 2) и U(5; 2) общей будет горизонтальная линия. Так можно проверять сразу пару ответов без нового подсчёта от O.
Потренироваться замечать горизонтальные и вертикальные положения можно и вне тетради: в статье «Пятнадцать раз в день — и всё математика, которую никто не замечает» собраны повседневные ситуации, в которых удобно описывать место предмета относительно выбранной точки.
Частые вопросы
Можно ли записать координаты через запятую?
Можно, если это принято в учебнике: A(3, 2). В русской записи десятичная запятая способна создать путаницу, поэтому для пары с дробными числами удобнее точка с запятой: A(1,5; −2). Главное — сохранять порядок x, затем y.
Как определить координаты, если точка попала точно на ось?
Посмотрите на ось, которой принадлежит точка. На горизонтальной оси y равен нулю, например (5; 0). На вертикальной оси x равен нулю, например (0; −5).
Что делать, если нужная точка не помещается на рисунке?
Расширьте координатную плоскость или выберите меньший единичный отрезок до построения точек. Подпишите новый масштаб и используйте его последовательно. Передвигать только одну точку ближе к O нельзя: её координаты от этого изменятся.
Почему при чтении точки получились другие числа, хотя четверть верная?
Вероятнее всего, числа переставлены или неверно отсчитаны деления. Проверьте, что первое число прочитано по горизонтальной оси x, второе — по вертикальной y, и что отсчёт начат от O.