Чтобы найти координаты вектора AB в пространстве, вычтите координаты его начала A из координат конца B по каждой оси: x(B)-x(A), y(B)-y(A), z(B)-z(A). Получится упорядоченная тройка. Для вектора BA порядок вычитания обратный, поэтому все три координаты меняют знак.
Правило короткое, но ошибки обычно появляются в двух местах: путают, какая точка стоит в начале стрелки, и теряют минус при вычитании отрицательной координаты. Запись по осям и обратная проверка помогают обнаружить оба сбоя.
Шаг 1. Прочитайте направление стрелки
У вектора AB начало — точка A, конец — точка B. Буквы в обозначении задают направление: движение идёт от первой ко второй. Если поменять буквы местами, получится другой вектор, направленный обратно.
Пусть A=(x(A);y(A);z(A)), B=(x(B);y(B);z(B)). Тогда
AB =(x(B)-x(A);\ y(B)-y(A);\ z(B)-z(A)).
Каждая координата вектора описывает изменение вдоль своей оси. Первая отвечает за x, вторая — за y, третья — за z. Положительное число означает движение в положительном направлении данной оси, отрицательное — в противоположном, ноль — отсутствие изменения по этой оси.
Перед вычислением можно провести от A к B небольшую стрелку рядом с записью задачи. Тогда формула «конец минус начало» получает наглядный смысл. Сам рисунок не обязан точно передавать расстояния или расположение точек в пространстве: знак каждой координаты берётся из чисел, а не из перспективы на листе.
Шаг 2. Вычтите координаты по одинаковым осям
Возьмём A=(-3;2;-4) и B=(2;-1;1). Разложим вычисление на три независимые строки:
x(B)-x(A)=2-(-3)=5,
y(B)-y(A)=-1-2=-3,
z(B)-z(A)=1-(-4)=5.
Значит, AB=(5;-3;5). От точки A до точки B координата x увеличилась на 5, y уменьшилась на 3, z увеличилась на 5.
Полезно записывать исходные точки строго в одном порядке: (x;y;z). Нельзя вычитать z(A) из y(B), даже если числа стоят рядом в черновике. Если координат много или минусы встречаются часто, сделайте короткую строку с названиями осей:
| Ось | Конец B | Начало A | Разность |
|---|---|---|---|
| x | 2 | -3 | 5 |
| y | -1 | 2 | -3 |
| z | 1 | -4 | 5 |
Таблица нужна только для вычисления. В ответе координаты вектора снова записываются одной тройкой в порядке x,y,z.
Шаг 3. Проверьте ответ восстановлением конца
Координаты вектора показывают, что нужно прибавить к начальной точке, чтобы попасть в конечную. Поэтому к каждой координате A прибавьте соответствующую координату найденного вектора:
(-3;2;-4)+(5;-3;5)=(2;-1;1).
Получилась точка B, значит, вычитание и направление согласованы. Это проверка сильнее простого повторения вычисления: она отвечает на вопрос, действительно ли найденное перемещение ведёт из A в B.
Для любой задачи схема та же:
A+AB=B.
Здесь сложение выполняется по координатам: x(A) с первой координатой вектора, y(A) со второй, z(A) с третьей. Если восстановленная точка отличается от заданной хотя бы по одной оси, пересчитайте именно эту разность.
Шаг 4. Найдите вектор в обратном направлении
Для тех же точек вектор BA начинается в B и заканчивается в A. Теперь из координат A вычитаются координаты B:
BA =(-3-2;\ 2-(-1);\ -4-1) =(-5;3;-5).
Сравните с AB=(5;-3;5). Каждая координата сменила знак, то есть
BA=-AB.
Если одна координата исходного вектора равна нулю, у обратного она тоже останется нулём: противоположный знак нуля ничего не меняет. Меняется направление перемещения в целом, а длина отрезка между точками остаётся той же.
Проверить обратный вектор можно так же: B+BA=A. В нашем примере (2;-1;1)+(-5;3;-5)=(-3;2;-4).
Ещё один пример: конец с отрицательными координатами
Пусть C=(4;-2;3), D=(-1;-5;-2). Направление CD идёт из C в D, поэтому вычисляем:
CD =(-1-4;\ -5-(-2);\ -2-3) =(-5;-3;-5).
В средней координате особенно легко ошибиться. Выражение -5-(-2) превращается в -5+2=-3, а не в -7. Знак результата согласуется с движением: по оси y мы переходим от -2 к -5, то есть уменьшаем координату на 3.
Проверка восстановлением конца даёт (4;-2;3)+(-5;-3;-5)=(-1;-5;-2). Если бы среднюю координату вектора ошибочно записали как -7, при проверке получилась бы координата y=-9, которая не совпадает с точкой D.
Когда одна из координат равна нулю
Рассмотрим P=(-2;4;1) и Q=(3;4;-2). Здесь у точек одинаковая координата y=4. Следовательно,
PQ =(3-(-2);\ 4-4;\ -2-1) =(5;0;-3).
Нулевая средняя координата не означает, что вектор нулевой. Она говорит только о том, что при переходе от P к Q нет изменения по оси y. По двум другим осям движение есть.
Нулевой вектор получается тогда, когда совпадают все три координаты начала и конца. Если A=B, то AB=(0;0;0). И наоборот: если все три разности равны нулю, исходные точки совпадают.
Этот пример помогает оценить ответ ещё до точного счёта. Если у точек равны координаты по одной оси, соответствующая координата вектора обязана быть нулём. Если в решении стоит ненулевое число, оси или порядок чисел перепутаны.
Как работать с минусами без путаницы
Сначала пишите буквенную формулу, затем подставляйте числа со скобками вокруг каждой отрицательной координаты. Например, для первой координаты AB при x(A)=-3 и x(B)=2 запись 2-(-3) сразу показывает два знака: знак вычитания и знак самого числа -3.
После вычисления проверьте результат смыслом движения. Переход от -3 к 2 по оси x увеличивает координату, значит, первая компонента вектора должна быть положительной. Переход от 2 к -1 по оси y уменьшает её, значит, вторая компонента отрицательна. Такая проверка знака не заменяет арифметику, но помогает заметить явную ошибку.
Когда задача решается вместе с ребёнком, можно попросить его вслух назвать начало, конец и одну разность до записи ответа. Этот приём описан подробнее в статье «Считает вслух — находит ошибку сам». Здесь он особенно полезен на этапе выбора порядка вычитания.
Как понять результат без пространственного рисунка
Координаты (5;-3;5) можно прочитать как три изменения: на 5 в положительном направлении x, на 3 в отрицательном направлении y, на 5 в положительном направлении z. Итоговое перемещение не зависит от того, где именно нарисовано начало: одинаковые тройки координат задают равные векторы.
Например, если из точки M=(0;0;0) отложить перемещение (5;-3;5), получится точка N=(5;-3;5). Если то же перемещение начать из A=(-3;2;-4), получится уже знакомая точка B=(2;-1;1). Начальные и конечные точки разные, а изменение по каждой оси одинаково.
Это позволяет проверить равенство векторов, заданных разными парами точек: найдите обе тройки и сравните их по порядку. Сравнивать только длины отрезков недостаточно, потому что направление тоже входит в понятие вектора. Практику проверки чисел через их смысл можно продолжить на простых примерах из статьи «Пятнадцать раз в день — и всё математика, которую никто не замечает».
Частые вопросы
Что делать, если координаты точек записаны через запятую?
Сначала определите, какие три числа относятся к x, y, z у каждой точки. В ответе сохраняйте тот же порядок осей. Разделять координаты точкой с запятой удобно, когда среди чисел встречаются десятичные дроби с запятой.
Можно ли найти BA, не считая всё заново?
Да. Если AB уже найден, поменяйте знак каждой его координаты. Это следует из обратного порядка вычитания: x(A)-x(B)=-(x(B)-x(A)), и так же для y и z.
Как узнать, лежит ли вектор в направлении одной оси?
У ненулевого вектора, направленного вдоль одной оси, две координаты равны нулю, а третья ненулевая. Например, (0;0;-4) задаёт перемещение только вдоль оси z в отрицательном направлении.
Что означает, если получились одинаковые координаты у двух векторов?
У них одинаковое изменение по каждой из трёх осей, поэтому векторы равны. Их начала при этом могут находиться в разных точках пространства.