Если известны периметр и площадь прямоугольника, сначала найдите сумму двух разных сторон: разделите периметр на 2. Затем ищите два числа, которые одновременно дают эту сумму при сложении и площадь при умножении. Для целых сторон удобно начать с пар делителей площади.
Найденные числа обязательно проверьте по обоим условиям. Подходящая сумма ещё не гарантирует подходящую площадь, и наоборот. Чертёж для вычисления не нужен: достаточно записать два равенства и проверить их.
Как связаны стороны, периметр и площадь
Обозначим длины соседних сторон через a и b, периметр — через P, площадь — через S. Тогда P = 2(a + b), а S = a × b. Эти формулы приведены в открытом учебнике OpenStax; задачи ниже составлены отдельно.
Первая формула показывает, почему периметр нужно делить на 2: каждая из двух сторон входит в него дважды. После деления получаем a + b = P / 2. Вторая формула даёт ещё одно условие: a × b = S. Искомая пара должна выполнять оба равенства одновременно.
Единицы измерения тоже помогают не потерять смысл ответа. Если периметр задан в сантиметрах, стороны выражаются в сантиметрах. Площадь при этом записывают в квадратных сантиметрах: произведение «см × см» даёт «см²». Нельзя подставлять площадь вместо стороны только потому, что её числовое значение кажется подходящим.
Как подобрать две целые стороны
Для задач этой статьи можно пользоваться таким порядком:
- Разделите периметр на 2 и запишите нужную сумму сторон.
- Выпишите пары положительных целых делителей площади: в каждой паре произведение равно площади.
- Сложите числа в каждой паре. Оставьте ту, чья сумма совпадает с половиной периметра.
- Подставьте найденные стороны в исходные формулы периметра и площади.
Не обязательно сразу находить все делители: можно проверять пары по мере подбора. Если одна пара дала верное произведение, но неверную сумму, переходите к другой. Например, требование «произведение равно площади» само по себе не определяет ответ: у числа могут быть разные пары делителей.
Подбор целых делителей удобен именно тогда, когда ожидаются целые длины сторон. Если подходящей целой пары нет, из этого не следует, что прямоугольник вообще невозможен: стороны могут быть дробными. Поэтому не стоит превращать приём подбора в универсальное правило для любых чисел. В приведённых ниже задачах нужные целые пары есть.
Три примера: от условий к проверке
Пример 1. Сначала находим сумму
Периметр прямоугольника равен 20 см, а площадь — 21 см². Найдите длины двух сторон.
Половина периметра равна 20 / 2 = 10 см. Значит, ищем два числа с суммой 10 и произведением 21. Пара 3 и 7 подходит: 3 + 7 = 10, 3 × 7 = 21.
Проверяем исходные данные: 2 × (3 + 7) = 20 см; 3 × 7 = 21 см². Ответ: 3 см и 7 см. Порядок записи сторон не меняет прямоугольник: важно, что обе длины найдены.
Пример 2. Одного произведения недостаточно
Периметр прямоугольника равен 26 см, а площадь — 36 см². Найдите длины двух сторон.
Нужная сумма — 26 / 2 = 13 см. Площадь 36 см² означает, что произведение числовых значений сторон равно 36. Проверяем пары делителей по сумме: 1 и 36 дают 37; 2 и 18 дают 20; 3 и 12 дают 15; 4 и 9 дают 13. Подходит последняя пара.
Проверка: 2 × (4 + 9) = 26 см; 4 × 9 = 36 см². Ответ: 4 см и 9 см. Здесь хорошо видно, зачем учитывать периметр: все перечисленные пары дают нужное произведение, но только одна даёт нужную сумму.
Пример 3. Проверяем обе формулы до записи ответа
Периметр прямоугольника равен 32 см, а площадь — 55 см². Найдите длины двух сторон.
Сумма сторон равна 32 / 2 = 16 см. У числа 55 есть пара делителей 5 и 11. Их сумма равна 16, поэтому это кандидаты на стороны.
Подставляем их в оба условия: 2 × (5 + 11) = 32 см, а 5 × 11 = 55 см². Ответ: 5 см и 11 см. Проверка нужна даже тогда, когда пара кажется очевидной: она обнаружит ошибку в делении периметра или в подборе делителей.
Восемь задач для самостоятельного решения
Во всех задачах найдите длины двух сторон прямоугольника. Перед тем как смотреть ответы, для каждой задачи запишите половину периметра, найдите пару чисел с нужной суммой и произведением, а затем проверьте результат по исходным данным.
- Периметр прямоугольника равен 38 см, а площадь — 78 см². Найдите длины двух сторон.
- Периметр прямоугольника равен 44 см, а площадь — 105 см². Найдите длины двух сторон.
- Периметр прямоугольника равен 50 см, а площадь — 136 см². Найдите длины двух сторон.
- Периметр прямоугольника равен 56 см, а площадь — 171 см². Найдите длины двух сторон.
- Периметр прямоугольника равен 62 см, а площадь — 210 см². Найдите длины двух сторон.
- Периметр прямоугольника равен 68 см, а площадь — 253 см². Найдите длины двух сторон.
- Периметр прямоугольника равен 74 см, а площадь — 300 см². Найдите длины двух сторон.
- Периметр прямоугольника равен 80 см, а площадь — 351 см². Найдите длины двух сторон.
Чтобы не перепутать две проверки, можно сначала записать возле каждой задачи только требуемую сумму. После выбора пары отдельно вычислите её произведение. Лишь затем вернитесь к полной формуле периметра с множителем 2. Такой порядок помогает заметить пропущенное удвоение, не полагаясь на рисунок.
Ответы с вычислениями
1. 38 / 2 = 19 — сумма сторон. Числа 6 и 13 дают сумму 19 и произведение 78. Проверка: 2 × (6 + 13) = 38 см; 6 × 13 = 78 см². Ответ: 6 см и 13 см.
2. 44 / 2 = 22 — сумма сторон. Подходят 7 и 15: 7 + 15 = 22, 7 × 15 = 105. Проверка: 2 × (7 + 15) = 44 см; 7 × 15 = 105 см². Ответ: 7 см и 15 см.
3. 50 / 2 = 25 — сумма сторон. Пара 8 и 17 даёт нужное произведение: 8 × 17 = 136. Её сумма равна 25. Проверка: 2 × (8 + 17) = 50 см; 8 × 17 = 136 см². Ответ: 8 см и 17 см.
4. 56 / 2 = 28 — сумма сторон. Для пары 9 и 19 получаем 9 + 19 = 28 и 9 × 19 = 171. Проверка: 2 × (9 + 19) = 56 см; 9 × 19 = 171 см². Ответ: 9 см и 19 см.
5. 62 / 2 = 31 — сумма сторон. Подходят 10 и 21, потому что 10 + 21 = 31, а 10 × 21 = 210. Проверка: 2 × (10 + 21) = 62 см; 10 × 21 = 210 см². Ответ: 10 см и 21 см.
6. 68 / 2 = 34 — сумма сторон. Числа 11 и 23 дают нужную сумму и площадь: 11 + 23 = 34, 11 × 23 = 253. Проверка: 2 × (11 + 23) = 68 см; 11 × 23 = 253 см². Ответ: 11 см и 23 см.
7. 74 / 2 = 37 — сумма сторон. Пара 12 и 25 подходит: 12 + 25 = 37, 12 × 25 = 300. Проверка: 2 × (12 + 25) = 74 см; 12 × 25 = 300 см². Ответ: 12 см и 25 см.
8. 80 / 2 = 40 — сумма сторон. У чисел 13 и 27 сумма равна 40, произведение — 351. Проверка: 2 × (13 + 27) = 80 см; 13 × 27 = 351 см². Ответ: 13 см и 27 см.
Как найти ошибку в своём решении
Если произведение найденных сторон совпало с площадью, а периметр нет, проверьте два места: правильно ли вы разделили исходный периметр на 2 и верно ли сложили выбранные делители. Если совпал периметр, но не площадь, пара подобрана только по сумме — нужно проверить другое сочетание чисел.
Записывайте в ответе именно длины сторон, а не их сумму. Половина периметра — промежуточный результат. Также не путайте единицы: сторона измеряется в сантиметрах, площадь — в квадратных сантиметрах. Проверка по двум исходным формулам сразу показывает, получен ли ответ на поставленный вопрос.
Если сами понятия ещё смешиваются, сначала разберите разницу между периметром и площадью для ребёнка, а затем вернитесь к подбору сторон.