Среднюю скорость за два участка находят так: складывают пройденные расстояния и делят на общее время, а не на среднее арифметическое двух скоростей. Если время каждого участка не дано, его сначала вычисляют делением расстояния на скорость.
Пусть длины участков — s₁ и s₂, а постоянные скорости на них — v₁ и v₂. Тогда t₁ = s₁/v₁, t₂ = s₂/v₂, а средняя скорость за весь путь равна (s₁ + s₂)/(t₁ + t₂). Скорости должны быть положительными; в задачах ниже движение идёт последовательно по двум участкам в одном направлении, без остановок. Определение средней скорости через весь пройденный путь и всё затраченное время есть в открытом учебнике OpenStax; все числовые задания здесь самостоятельные.
Почему сначала нужно время
Скорость показывает, какое расстояние пройдено за единицу времени. Если два участка имеют разную длину, участник может провести на них разное время. Поэтому две заданные скорости нельзя просто сложить и разделить на два: такое действие не учитывает, сколько длилось движение на каждой скорости.
Порядок записи помогает не потерять данные. Для первого участка найдите s₁/v₁, для второго — s₂/v₂. После этого отдельно сложите расстояния и времена. Только затем выполните последнее деление. При километрах и км/ч оба промежуточных времени получатся в часах, а итоговая скорость — в км/ч.
Средняя скорость относится ко всему описанному пути. Она не обязана совпадать ни с одной из скоростей на участках. Чтобы проверить готовый ответ, умножьте его на суммарное время: должно получиться суммарное расстояние.
Три разобранных примера
Пример 1
Условие. Первый участок длиной 20 км пройден с постоянной скоростью 20 км/ч, второй длиной 80 км — со скоростью 40 км/ч. Остановок не было. Найдите среднюю скорость за весь путь.
Первый участок занял 20/20 = 1 ч. Второй — 80/40 = 2 ч. Всего пройдено 20 + 80 = 100 км за 1 + 2 = 3 ч. Средняя скорость равна 100/3 км/ч.
Ответ: 100/3 км/ч. Оставляем точную дробь, не округляя её. Здесь полезно заметить, почему результат не равен простому среднему двух скоростей: на участке со скоростью 40 км/ч движение длилось дольше. Проверка: (100/3) × 3 = 100 км.
Пример 2
Условие. Первый участок длиной 50 км пройден с постоянной скоростью 25 км/ч, второй длиной 135 км — со скоростью 45 км/ч. Остановок не было. Найдите среднюю скорость за весь путь.
Время на первом участке: 50/25 = 2 ч. Время на втором: 135/45 = 3 ч. Общий путь — 50 + 135 = 185 км, общее время — 2 + 3 = 5 ч. Делим 185 на 5 и получаем 37 км/ч.
Ответ: 37 км/ч. Для проверки не нужно снова вычислять оба участка: 37 км/ч за 5 ч дают 185 км, то есть именно весь путь. Если вместо 5 ч в знаменателе оказалось 2 или 3 ч, значит, при расчёте забыли один из участков.
Пример 3
Условие. Первый участок длиной 90 км пройден с постоянной скоростью 30 км/ч, второй длиной 100 км — со скоростью 50 км/ч. Остановок не было. Найдите среднюю скорость за весь путь.
Первый участок занял 90/30 = 3 ч, второй — 100/50 = 2 ч. При почти равных длинах участков время оказалось разным: меньшая скорость действовала дольше. Суммарное расстояние составляет 90 + 100 = 190 км, время — 3 + 2 = 5 ч. Средняя скорость равна 190/5 = 38 км/ч.
Ответ: 38 км/ч. Обратная проверка: 38 × 5 = 190 км. Проверять только тем, что 38 лежит между 30 и 50, недостаточно: неверный расчёт тоже может дать число внутри этого промежутка.
Восемь упражнений
Для каждой задачи запишите два промежуточных времени, затем общий путь и общее время. Все участки проходят последовательно, с указанной постоянной скоростью и без остановок. Ответы даны после условий; дроби можно оставлять в точном виде.
- Первый участок длиной 35 км пройден с постоянной скоростью 35 км/ч, второй длиной 165 км — со скоростью 55 км/ч. Остановок не было. Найдите среднюю скорость за весь путь.
- Первый участок длиной 80 км пройден с постоянной скоростью 40 км/ч, второй длиной 120 км — со скоростью 60 км/ч. Остановок не было. Найдите среднюю скорость за весь путь.
- Первый участок длиной 135 км пройден с постоянной скоростью 45 км/ч, второй длиной 195 км — со скоростью 65 км/ч. Остановок не было. Найдите среднюю скорость за весь путь.
- Первый участок длиной 50 км пройден с постоянной скоростью 50 км/ч, второй длиной 140 км — со скоростью 70 км/ч. Остановок не было. Найдите среднюю скорость за весь путь.
- Первый участок длиной 110 км пройден с постоянной скоростью 55 км/ч, второй длиной 225 км — со скоростью 75 км/ч. Остановок не было. Найдите среднюю скорость за весь путь.
- Первый участок длиной 180 км пройден с постоянной скоростью 60 км/ч, второй длиной 160 км — со скоростью 80 км/ч. Остановок не было. Найдите среднюю скорость за весь путь.
- Первый участок длиной 65 км пройден с постоянной скоростью 65 км/ч, второй длиной 255 км — со скоростью 85 км/ч. Остановок не было. Найдите среднюю скорость за весь путь.
- Первый участок длиной 140 км пройден с постоянной скоростью 70 км/ч, второй длиной 180 км — со скоростью 90 км/ч. Остановок не было. Найдите среднюю скорость за весь путь.
Ответы с вычислениями
Сверяйте решение по порядку: время первого участка, время второго, затем деление всего расстояния на всё время. Если итог отличается, такая запись покажет, на каком шаге искать ошибку.
- 35/35 = 1 ч; 165/55 = 3 ч; (35 + 165)/(1 + 3) = 50 км/ч. Ответ: 50 км/ч.
- 80/40 = 2 ч; 120/60 = 2 ч; (80 + 120)/(2 + 2) = 50 км/ч. Ответ: 50 км/ч.
- 135/45 = 3 ч; 195/65 = 3 ч; (135 + 195)/(3 + 3) = 55 км/ч. Ответ: 55 км/ч.
- 50/50 = 1 ч; 140/70 = 2 ч; (50 + 140)/(1 + 2) = 190/3 км/ч. Ответ: 190/3 км/ч.
- 110/55 = 2 ч; 225/75 = 3 ч; (110 + 225)/(2 + 3) = 67 км/ч. Ответ: 67 км/ч.
- 180/60 = 3 ч; 160/80 = 2 ч; (180 + 160)/(3 + 2) = 68 км/ч. Ответ: 68 км/ч.
- 65/65 = 1 ч; 255/85 = 3 ч; (65 + 255)/(1 + 3) = 80 км/ч. Ответ: 80 км/ч.
- 140/70 = 2 ч; 180/90 = 2 ч; (140 + 180)/(2 + 2) = 80 км/ч. Ответ: 80 км/ч.
Что делать, если получилась другая скорость
Частая ошибка — находить среднее арифметическое скоростей на двух участках. Оно совпадёт с верным ответом лишь в некоторых условиях, например когда время движения на обеих скоростях одинаково. Проверить, так ли это в конкретной задаче, можно только после вычисления t₁ и t₂. Не подменяйте этим частным случаем общий способ.
При расхождении с ключом сначала перепроверьте каждое время умножением: t₁ × v₁ должно давать s₁, а t₂ × v₂ — s₂. Затем убедитесь, что в последнем делении числитель содержит оба расстояния, а знаменатель — оба времени. Итоговая проверка — умножение найденной средней скорости на общее время. Если произведение не равно общему пути, ошибка остаётся в расчёте.
Когда ребёнку трудно понять, почему расстояние делят на скорость для получения времени, можно вернуться к статье «Скорость: как объяснить ребёнку путь и время». Здесь именно эта связь нужна перед вычислением средней скорости.