В дробно-рациональном уравнении переменная может стоять в знаменателе. Поэтому первый вопрос — при каких значениях x исходные дроби вообще имеют смысл. Эти ограничения называют областью допустимых значений, или ОДЗ. Затем уравнение преобразуют, находят кандидатов в корни и сверяют каждого с исходной ОДЗ и исходным равенством.
Например, в уравнении (x + 4)/(x − 2) = 3 значение x = 2 запрещено: знаменатель стал бы нулём. Для остальных x можно умножить обе части на x − 2. Получаем x + 4 = 3(x − 2), откуда x = 5. Проверка в исходной записи: (5 + 4)/(5 − 2) = 9/3 = 3. Значит, ответ — 5. Такой порядок — сначала ограничения исходных знаменателей, затем преобразования и отбор — объясняется в материале «Дробно-рациональные уравнения».
Запишите ОДЗ до сокращения
Ограничения берут из всех знаменателей первоначального равенства. Если знаменатель x − 2, записываем x ≠ 2. Если знаменатели x − 1 и x + 1, записываем сразу два условия: x ≠ 1 и x ≠ −1. Эти числа не становятся допустимыми после того, как дроби сократились или знаменатели исчезли при умножении.
Посмотрим на (x² − 25)/(x − 5) = 0. Исходная ОДЗ: x ≠ 5. Числитель равен (x − 5)(x + 5), поэтому при допустимых x дробь можно сократить до x + 5. Получаем x + 5 = 0 и x = −5. Он разрешён исходной ОДЗ, а в исходной дроби даёт (25 − 25)/(−5 − 5) = 0/(−10) = 0.
Если начать с равенства x² − 25 = 0, появятся два кандидата: −5 и 5. Второй надо исключить: при x = 5 исходный знаменатель равен нулю. Само преобразованное уравнение не хранит это ограничение, поэтому ОДЗ держат перед глазами до записи ответа.
Отдельно проверьте, что именно сокращаете. В дроби (x − 5)(x + 5)/(x − 5) общий множитель x − 5 есть у всего числителя и знаменателя. В выражении (x + 5)/(x + 2) нельзя «сократить x»: здесь x является частью сумм, а не общим множителем. Если сомневаетесь, разложите числитель и знаменатель на множители перед сокращением. Подробнее это действие разобрано в статье «Дробно-рациональные выражения: допустимые значения и сокращение».
Уберите знаменатели на допустимых значениях
Когда ОДЗ записана, можно привести дроби к общему знаменателю или умножить обе части равенства на общий знаменатель. Рассмотрим:
2/(x − 1) = 3/(x + 2).
Сначала ОДЗ: x ≠ 1 и x ≠ −2. Общий знаменатель — (x − 1)(x + 2). Для допустимых x он не равен нулю. После умножения обеих частей на него остаётся:
2(x + 2) = 3(x − 1).
Раскрываем скобки: 2x + 4 = 3x − 3, значит x = 7. Он не равен ни 1, ни −2. В исходном равенстве слева 2/(7 − 1) = 1/3, справа 3/(7 + 2) = 1/3. Ответ: 7.
Здесь важно домножать каждую дробь на недостающую часть общего знаменателя. У первой дроби уже есть x − 1, поэтому после сокращения остаётся x + 2. У второй уже есть x + 2, поэтому остаётся x − 1. Пропуск одного из этих множителей меняет уравнение.
Если удобнее переносить всё в одну сторону, после приведения дробей к общему знаменателю получится одна дробь. Равенство P(x)/Q(x) = 0 при Q(x) ≠ 0 означает P(x) = 0. Однако Q(x) ≠ 0 — только часть проверки: сохраняются также запреты из исходных знаменателей, если после преобразований некоторые множители сократились.
Отберите корни, которые не уничтожают знаменатель
Иногда вычисление приводит ровно к запрещённому числу. Возьмём:
(x + 2)/(x − 4) = 6/(x − 4).
Исходная ОДЗ: x ≠ 4. Для допустимых x умножаем обе части на x − 4: x + 2 = 6, откуда x = 4. Но это число исключено ещё до вычислений. При x = 4 обе исходные дроби имеют нулевой знаменатель. Ответ: корней нет.
Не пытайтесь «проверить» такой кандидат вычислением значения дроби: деление на ноль не определено. Достаточно сравнить его с исходной ОДЗ и показать, почему он исключён.
В другом примере допустимый корень может быть дробным:
1/(x − 2) + 1/(x + 2) = 1/(x² − 4).
Здесь x² − 4 = (x − 2)(x + 2), поэтому ОДЗ: x ≠ 2 и x ≠ −2. Умножаем всё равенство на (x − 2)(x + 2):
(x + 2) + (x − 2) = 1.
Получаем 2x = 1 и x = 1/2. Он допустим. Проверим исходное равенство: 1/(−3/2) + 1/(5/2) = −2/3 + 2/5 = −4/15; справа 1/(1/4 − 4) = 1/(−15/4) = −4/15. Ответ: 1/2. Эта проверка заодно ловит ошибку со знаком у одного из знаменателей.
Если равенство превратилось в тождество
Не каждое такое уравнение имеет отдельные корни, которые можно перечислить. Рассмотрим:
(x − 4)/(x − 4) = 1.
Исходная ОДЗ: x ≠ 4. При каждом допустимом x левая часть равна 1, поэтому подходит любое действительное x, кроме 4. Запись «любое x» была бы неверной: при x = 4 исходная дробь не существует.
Похожий итог бывает, когда после умножения на общий знаменатель обе стороны оказываются одинаковыми выражениями. Тогда возвращаются к ОДЗ: именно она задаёт ответ. Если же после правильного преобразования получилось неверное числовое равенство, например 1 = 0, подходящих значений нет. В обоих случаях не нужно придумывать корень из тождества или противоречия.
Есть ещё тонкая ловушка: нельзя без оговорки делить обе части уравнения на выражение с x. Допустим, после преобразований получилось x(x − 3) = 0. Деление на x удалит возможность x = 0. Сначала разбирают произведение: x = 0 или x − 3 = 0, а затем оба кандидата сверяют с исходной ОДЗ. Если x = 0 был запрещён исходным знаменателем, он отсеется при этой проверке; если не был, останется. Решение не должно зависеть от случайного сокращения строки.
Оформите решение так, чтобы ответ можно было проверить
Короткая рабочая запись состоит из четырёх частей: исходная ОДЗ, преобразование равенства, кандидаты, проверка и ответ. Для (x + 4)/(x − 2) = 3 это выглядит так: x ≠ 2; x + 4 = 3(x − 2); x = 5; 9/3 = 3; ответ 5. Такая запись компактна, но показывает, почему корень разрешён.
Если кандидатов несколько, проверяйте каждого отдельно. Например, у (x² − 9)/(x − 1) = 0 исходная ОДЗ x ≠ 1. Числитель равен нулю при x = −3 и x = 3. Оба числа допустимы. В каждом случае числитель равен нулю, а знаменатель соответственно −4 и 2, поэтому исходная дробь равна нулю. Ответ: −3 и 3.
Проверка подстановкой нужна и тогда, когда ОДЗ уже отсекла явно запрещённые значения. Она показывает, не ошиблись ли вы при раскрытии скобок, переносе слагаемого или приведении к общему знаменателю. Подставляйте кандидата в первоначальную запись: проверка только в уравнении после удаления знаменателей может пропустить потерянное ограничение.
Задания с разбором
1. Решите (x + 1)/(x − 3) = 2. ОДЗ: x ≠ 3. Умножаем на x − 3: x + 1 = 2x − 6, откуда x = 7. В исходной дроби (7 + 1)/(7 − 3) = 8/4 = 2. Ответ: 7.
2. Решите (x² − 16)/(x + 4) = 0. ОДЗ: x ≠ −4. Из x² − 16 = (x − 4)(x + 4) выходят кандидаты 4 и −4. Второй запрещён. При x = 4 знаменатель равен 8, числитель — 0. Ответ: 4.
3. Решите (x − 3)/(x − 3) = 0. ОДЗ: x ≠ 3. Для любого такого x левая часть равна 1, а не 0. Значение x = 3 не допускается. Ответ: корней нет.
4. Решите 2/(x − 1) = 2/(x − 1). ОДЗ: x ≠ 1. При любом допустимом x обе стороны совпадают, поэтому ответ — все действительные x, кроме 1. Здесь не требуется «найти x = 2»: это лишь один из множества подходящих примеров.
При разборе своих ошибок двигайтесь в обратном порядке. Если найденное число не проходит исходную проверку, пересчитайте раскрытие скобок и домножение дробей. Если вычисления дали запрещённое число, вернитесь к исходным знаменателям: возможно, ответом будет «корней нет». Если в ответе написано «все числа», проверьте, не исключает ли ОДЗ одно или несколько значений. Так каждое ограничение остаётся привязанным к тому равенству, которое было дано в задаче.