Дробно-рациональное выражение содержит переменную в знаменателе, например (x+3)/x. С ним можно выполнять обычные действия с дробями, но сначала нужно исключить значения, при которых хотя бы один исходный знаменатель равен нулю. Для (x+3)/x это x=0.
Главное правило при сокращении: сокращают общие множители числителя и знаменателя, а не похожие слагаемые. И даже если после сокращения запрещённый знаменатель исчез из записи, исходное ограничение остаётся. Например, (x²-9)/(x²-3x)=(x+3)/x только при x≠0 и x≠3.
1. Выпишите ограничения до преобразований
Возьмём (x²-9)/(x²-3x). Знаменатель можно представить как x(x-3). Произведение равно нулю при x=0 или x=3. Поэтому допустимы все остальные значения x.
Удобно записать это рядом с исходным выражением: x≠0,\ x≠3. Такая строка нужна до сокращения. Позже множитель x-3 может исчезнуть, и по одной только упрощённой дроби уже не будет видно, почему тройка запрещена.
Если в выражении несколько дробей, проверяйте знаменатель каждой. Для 1/x+1/(x+1) ограничения два: x≠0 и x≠-1. Их определяют по исходной записи, ещё до приведения к общему знаменателю.
Числитель может быть равен нулю: сама по себе нулевая дробь допустима, если знаменатель не ноль. Например, (x-2)/(x+1) при x=2 равна нулю, а при x=-1 не имеет значения.
2. Разложите числитель и знаменатель
Чтобы увидеть общий множитель, запишите суммы и разности в виде произведений. В нашем примере x²-9=(x-3)(x+3) — это разность квадратов. Знаменатель x²-3x=x(x-3), потому что из обоих слагаемых выносится x.
Теперь вся дробь выглядит так: ((x-3)(x+3))/(x(x-3)). Общий множитель x-3 виден целиком. Если x≠3, на него можно разделить и числитель, и знаменатель. Получаем (x+3)/x при уже записанных ограничениях x≠0,\ x≠3.
Порядок важен: сначала разложение, затем сокращение. Когда в числителе стоит x²-9, нельзя просто «убрать девятку» рядом с -3x в знаменателе. Это отдельные слагаемые внутри разных многочленов; общего множителя в таком виде ещё не видно.
Полезно знать несколько знакомых разложений: a²-b²=(a-b)(a+b), a²+2ab+b²=(a+b)², а также вынесение общего множителя за скобки. Их не нужно применять наугад: проверьте обратным умножением, что полученное произведение действительно возвращает исходный многочлен.
3. Сохраняйте исключённые значения после сокращения
Упрощённая запись (x+3)/x при x=3 даёт число 2. Но исходная дробь (x²-9)/(x²-3x) при x=3 превращается в 0/0, а деление на ноль не определено. Поэтому число 2 не становится значением исходного выражения в этой точке.
Именно поэтому итог лучше писать вместе с условием: (x+3)/x,\ x≠0,\ x≠3. Новая запись даёт те же значения, что исходная, на её допустимой области. Она не добавляет исходному выражению значения там, где его не было.
Проверим на разрешённом числе x=6. Исходная дробь равна (36-9)/(36-18)=27/18=3/2. Упрощённая даёт (6+3)/6=9/6=3/2. Числовая проверка подтверждает преобразование в выбранной точке, но не отменяет ограничений, найденных раньше.
Другой короткий пример: (x²-4)/(x-2)=x+2 при x≠2, поскольку x²-4=(x-2)(x+2). Подстановка x=2 в x+2 даёт 4, однако у исходной дроби при x=2 знаменатель нулевой. Поэтому ограничение обязательно остаётся.
4. Не сокращайте слагаемые
Рассмотрим (x+2)/(x+3). В числителе и знаменателе есть буква x, но она входит в суммы. Если «зачеркнуть x», получится 2/3, что неверно. При x=1 исходная дробь равна 3/4, а 2/3 — другое число.
Точно так же (x²+1)/x нельзя сократить до x+1: единица в числителе не содержит множителя x. При x=2 исходное выражение равно 5/2, а x+1=3.
Иногда помогает разделить сумму на слагаемые: (x²+x)/x=x(x+1)/x=x+1 при x≠0. Здесь сокращение разрешено потому, что весь числитель раскладывается как x(x+1). Исходный знаменатель всё равно запрещает ноль.
Если хочется зачеркнуть отдельный символ, остановитесь и спросите: «Числитель и знаменатель уже представлены как произведения? Совпадает ли один множитель полностью?» Если хотя бы один ответ отрицательный, сначала преобразуйте выражение или оставьте дробь без сокращения.
5. При сложении сначала соберите общий знаменатель
Для 1/x+1/(x+1) исходные ограничения — x≠0,\ x≠-1. Общий знаменатель x(x+1). Тогда (1)/(x)+(1)/(x+1) =(x+1)/(x(x+1))+(x)/(x(x+1)) =(2x+1)/(x(x+1)). Числители складываются после того, как знаменатели стали одинаковыми.
Ошибка здесь — сложить исходные числители и знаменатели: 1/x+1/(x+1)≠2/(2x+1). При x=1 исходная сумма равна 1+1/2=3/2, а ошибочная дробь 2/3. Простая подстановка быстро показывает, что правило сложения было нарушено.
Общий знаменатель может получиться громоздким. Перед умножением знаменателей проверьте, нет ли у них общих множителей. Для 1/[x(x+1)]+1/(x+1) достаточно знаменателя x(x+1): вторую дробь домножают на x/x. Ограничения здесь прежние: x≠0,\ x≠-1.
Внимательно переписывайте знаки при вычитании. В (1)/(x)-(1)/(x+1) числитель после приведения к общему знаменателю равен (x+1)-x=1. Минус относится ко всему второму числителю. Если такие ошибки трудно заметить в записи, можно проговорить преобразование вслух; этот способ описан в статье «Считает вслух — находит ошибку сам: приём для домашки по математике».
6. Проверьте сложную дробь по исходной записи
Если одна дробь делится на выражение с переменной, ограничений может быть больше, чем кажется после упрощения. Например, (1/x)/(1-1/x). Внутренние дроби требуют x≠0. Кроме того, весь знаменатель 1-1/x не должен равняться нулю. Это происходит при x=1, значит, нужно исключить и единицу.
Теперь 1-1/x=(x-1)/x. Деление на эту дробь даёт (1/x):((x-1)/x)=1/(x-1) при x≠0,\ x≠1. В итоговой записи исчезло ограничение x≠0, но для исходного выражения оно остаётся.
Подставим допустимое x=2. Исходная запись даёт (1/2)/(1-1/2)=(1/2)/(1/2)=1. Упрощённая — 1/(2-1)=1. А при x=0 исходную запись даже нельзя начать вычислять, хотя 1/(x-1) отдельно имело бы значение -1.
Такая числовая проверка удобна после длинных преобразований. Сначала выберите допустимое значение, затем вычислите исходное и итоговое выражения отдельно. Если результаты различаются, ищите ошибку в знаке, разложении или общем знаменателе.
Где пригодится этот порядок
Сначала ограничения, затем разложение, действие с дробями и сокращение — этот порядок помогает не потерять значение переменной, исключённое исходным знаменателем. В задачах с числовыми долями тоже полезно отдельно проверять, что именно делят и что можно сократить; примеры таких расчётов есть в статье «Пятнадцать раз в день — и всё математика, которую никто не замечает».
Для самостоятельной проверки возьмите (x²-1)/(x²+2x+1). Знаменатель равен (x+1)², значит, x≠-1. Числитель равен (x-1)(x+1). После сокращения получается (x-1)/(x+1) при x≠-1. При x=1 обе записи равны нулю; при x=-1 исходная дробь не определена.
Частые вопросы
Может ли после сокращения получиться целое выражение?
Да. Например, (x²-4)/(x-2)=x+2, но только при x≠2. Отсутствие дробной черты в результате не отменяет исходного ограничения.
Нужно ли искать нули числителя при определении допустимых значений?
Нет, если задача спрашивает только допустимые значения выражения. Ноль числителя разрешён при ненулевом знаменателе. Он понадобится, например, если отдельно просят найти, когда вся дробь равна нулю.
Как проверить разложение на множители?
Умножьте полученные скобки обратно. Для (x-3)(x+3) выйдет x²-9. Если получился другой многочлен, сокращать по такому разложению нельзя.
Что делать, если знаменатель после упрощения стал единицей?
Запишите полученный многочлен и рядом сохраните все исключения из исходной дроби. Проверять допустимые значения только по окончательной записи в этом случае особенно опасно.