Квадрат суммы раскрывают так: (a + b)² = a² + 2ab + b². Нужно возвести в квадрат первое слагаемое, прибавить удвоенное произведение обоих слагаемых, затем квадрат второго. Например, (x + 3)² = x² + 6x + 9.
Если ребёнок написал x² + 9, предложите подставить x = 1. Исходное выражение даст (1 + 3)² = 16, а запись x² + 9 даст 10. Проверка сразу показывает, что между двумя квадратами потерялся член 6x. Ниже — способ раскрывать скобки и упражнения, в которых этот навык постепенно усложняется.
Откуда берётся средний член
Запись (a + b)² означает (a + b)(a + b). Умножим каждое слагаемое первой скобки на каждое слагаемое второй:
(a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².
Два одинаковых произведения ab появляются потому, что a умножается на b из второй скобки, а b — на a. Их сумма и есть 2ab. Это объяснение полезно держать рядом с формулой: тогда средний член не приходится запоминать как случайную добавку.
Попробуйте прочитать (x + 4)² вслух: «квадрат x, плюс два раза x на 4, плюс квадрат 4». Получится x² + 8x + 16. Произносить действие бывает удобнее, чем сразу записывать готовый ответ: каждый член выражения получает своё место.
Как раскрыть квадрат суммы по шагам
Возьмём (2x + 5)². В этой задаче первое слагаемое — всё выражение 2x, а второе — число 5. Действуем по порядку:
- Квадрат первого слагаемого: (2x)² = 4x².
- Удвоенное произведение: 2 · 2x · 5 = 20x.
- Квадрат второго слагаемого: 5² = 25.
- Складываем результаты: (2x + 5)² = 4x² + 20x + 25.
Скобки вокруг 2x в первом действии помогают увидеть, что в квадрат возводятся и число 2, и переменная x. Запись 2x² вместо 4x² была бы ошибкой: (2x)(2x) = 4x².
Теперь заменим число выражением: (x + 2y)². Первое слагаемое — x, второе — 2y. Получаем x² + 2 · x · 2y + (2y)² = x² + 4xy + 4y². Формула остаётся той же; меняется только то, что мы подставляем на места a и b.
Если слагаемые поменять местами, ответ не изменится. Например, (3 + x)² и (x + 3)² равны одному и тому же выражению x² + 6x + 9. Это следует и из обычного свойства сложения: 3 + x = x + 3. Когда ребёнок уверенно пользуется такими перестановками, полезно разобрать свойства арифметических действий на простых вычислениях.
Как проверять ответ подстановкой
Подстановка позволяет быстро обнаружить ошибку, хотя совпадение при одном значении ещё не заменяет правильного раскрытия скобок. Выберите небольшое число для переменной и отдельно посчитайте исходную запись и полученный многочлен.
Проверим (2x + 5)² = 4x² + 20x + 25 при x = 2. Слева: (2 · 2 + 5)² = 9² = 81. Справа: 4 · 2² + 20 · 2 + 25 = 16 + 40 + 25 = 81.
Для выражения с двумя буквами задайте значение каждой. Например, у равенства (x + 2y)² = x² + 4xy + 4y² возьмём x = 1 и y = 2. Слева получим (1 + 4)² = 25. Справа — 1 + 8 + 16 = 25. Если результаты расходятся, сначала проверьте коэффициент среднего члена и квадрат составного слагаемого.
При выборе x = 0 средний член с x исчезнет. Поэтому для проверки, в которой нужно заметить пропущенное 2ab, лучше взять ненулевые значения обоих слагаемых. Удобны 1, 2 или 3: арифметика остаётся простой, а ошибка чаще становится видимой.
Упражнения: от чисел к выражениям
Решайте по одному примеру, а затем сверяйте не только итог, но и три части формулы. В первых двух заданиях удобно записать промежуточное произведение; в остальных попробуйте назвать его устно.
1. Раскройте (x + 7)². Здесь a = x, b = 7. Квадраты дают x² и 49, а средний член равен 2 · x · 7 = 14x. Ответ: x² + 14x + 49.
2. Раскройте (3x + 2)². Квадрат 3x равен 9x²; удвоенное произведение 3x и 2 равно 12x; квадрат 2 равен 4. Ответ: 9x² + 12x + 4. При x = 1 обе записи дают 25.
3. Раскройте (a + 5b)². Удвоенное произведение здесь 2 · a · 5b = 10ab. Квадрат 5b равен 25b². Ответ: a² + 10ab + 25b².
4. Раскройте (2m + 3n)². Получаем (2m)² = 4m², 2 · 2m · 3n = 12mn и (3n)² = 9n². Ответ: 4m² + 12mn + 9n². Если взять m = 1 и n = 1, исходная запись и ответ дадут 25.
5. Раскройте (x + 0,5)². Средний член равен 2 · x · 0,5 = x; квадрат 0,5 равен 0,25. Ответ: x² + x + 0,25. Например, при x = 1 слева 1,5² = 2,25, справа 1 + 1 + 0,25 = 2,25.
После проверки попросите ребёнка выбрать одно задание и объяснить, что именно он считал первым, вторым и третьим действием. Такое объяснение показывает, понимает ли он формулу, даже если итоговая запись уже верна.
Упражнения с готовой записью: найдите ошибку
Здесь нужно не только написать верный ответ, но и указать неверное действие. Это помогает отличать случайную арифметическую ошибку от ошибки в применении формулы.
Запись А: (x + 6)² = x² + 36. Пропущено удвоенное произведение x и 6. Верно: (x + 6)² = x² + 12x + 36.
Запись Б: (4x + 1)² = 4x² + 8x + 1. Средний член и последний квадрат посчитаны верно, но (4x)² = 16x². Верно: 16x² + 8x + 1.
Запись В: (p + 3q)² = p² + 3pq + 9q². Средний член должен быть удвоенным: 2 · p · 3q = 6pq. Верно: p² + 6pq + 9q².
В каждой записи достаточно исправить конкретное место. Необязательно заново разбирать всю формулу, если причина уже найдена. Затем можно проверить исправление подстановкой ненулевых чисел.
Что делать, если ответ выглядит непривычно
Иногда после раскрытия скобок получаются подобные слагаемые. Например, в выражении (x + 2)² + 3x сначала раскройте квадрат: x² + 4x + 4 + 3x. Затем сложите 4x и 3x. Ответ: x² + 7x + 4. Добавленное 3x не входит в квадрат суммы; оно прибавляется после применения формулы.
В выражении 2(x + 3)² число перед скобкой тоже требует отдельного шага. Сначала (x + 3)² = x² + 6x + 9. Затем умножаем каждый полученный член на 2: 2x² + 12x + 18. Если умножить на 2 только первый член, запись перестанет быть равной исходной.
Полезно отделять действия строками: сначала раскрытие квадрата, потом сбор подобных слагаемых или умножение на число перед скобкой. Так легче найти место ошибки при проверке.
Частые вопросы
Можно ли раскрывать (x + 3)² обычным умножением скобок?
Да. Запишите (x + 3)(x + 3) и умножьте каждый член первой скобки на каждый член второй. Получится x² + 3x + 3x + 9, то есть x² + 6x + 9. Это хороший способ восстановить формулу, если она забылась.
Как записать ответ, если слагаемое содержит минус?
Если внутри скобок стоит x + (−3), подставьте b = −3: (x + (−3))² = x² − 6x + 9. Здесь важно сохранять скобки вокруг отрицательного числа при вычислении его квадрата.
Можно ли проверить равенство только при x = 0?
Можно проверить вычисление для этого значения, но такой выбор не покажет ошибку в члене с x. Для дополнительной проверки возьмите, например, x = 1 или x = 2 и сравните обе стороны ещё раз.