Свойства арифметических действий помогают изменить запись выражения так, чтобы считать было удобнее, сохранив его значение. При сложении и умножении можно менять числа местами и объединять их в удобные группы. Умножение суммы на число можно заменить умножением каждого слагаемого на это число.
Начните с простого вопроса: какие числа вместе дадут круглый результат? Например, 27 + 45 + 73 удобнее посчитать как (27 + 73) + 45 = 145. Но переносить такой приём на вычитание и деление без проверки нельзя: порядок действий там может изменить ответ.
Шаг 1. Найдите удобную пару при сложении
Переместительное свойство сложения позволяет менять слагаемые местами: 18 + 7 = 7 + 18. Сочетательное позволяет менять группировку: (18 + 7) + 3 = 18 + (7 + 3). Вместе они дают возможность собрать числа, которые легко сложить.
Возьмём 36 + 19 + 64. Переставим слагаемые и поставим скобки: (36 + 64) + 19 = 100 + 19 = 119. Число 19 никуда не исчезло; мы только выбрали удобный порядок.
Другой пример: 125 + 48 + 75 + 52. Здесь сразу две пары дополняют друг друга до круглых чисел: 125 + 75 = 200, 48 + 52 = 100. Значит, вся сумма равна 300.
Если слагаемых много, сначала подчеркните подходящие пары. После преобразования пересчитайте, все ли исходные числа вошли в новую запись ровно по одному разу. Это защищает от ошибки, при которой удобную пару нашли, но одно слагаемое забыли.
Шаг 2. Переставьте и сгруппируйте множители
Для умножения действуют похожие свойства: 4 × 7 = 7 × 4 и (4 × 7) × 5 = 4 × (7 × 5). Поэтому в произведении нескольких чисел можно выбрать удобный порядок и скобки.
Вычислим 25 × 17 × 4. Сначала удобно перемножить 25 и 4: (25 × 4) × 17 = 100 × 17 = 1700. Если идти строго слева направо, сначала пришлось бы находить 25 × 17, хотя это не требуется.
Ещё пример: 8 × 6 × 125. Переставим множители: (8 × 125) × 6 = 1000 × 6 = 6000. Приём особенно полезен, когда среди множителей есть пары 2 и 5, 4 и 25, 8 и 125: они дают 10, 100 и 1000.
Не каждое выражение нужно преобразовывать. Если 3 × 4 × 2 и так легко посчитать, лишние перестановки могут только удлинить запись. Цель — упростить вычисление, а не обязательно применить свойство в каждой строке.
Шаг 3. Разложите неудобное число на сумму
Распределительное свойство связывает умножение и сложение: число можно умножить на сумму целиком или на каждое её слагаемое отдельно. Например, 6 × (10 + 3) = 6 × 10 + 6 × 3 = 60 + 18 = 78.
Этот приём помогает считать произведение с числом, близким к круглому. Для 7 × 42 представим 42 как 40 + 2: 7 × 42 = 7 × 40 + 7 × 2 = 280 + 14 = 294.
Можно двигаться и в обратную сторону — вынести общий множитель. В выражении 9 × 14 + 9 × 6 число 9 повторяется: 9 × (14 + 6) = 9 × 20 = 180. Такую запись полезно искать, когда внутри скобок получается круглое число.
Умножать нужно каждое слагаемое. Запись 5 × (8 + 2) = 5 × 8 + 2 ошибочна: справа получится 42 вместо 50. Правильно: 5 × 8 + 5 × 2 = 40 + 10 = 50.
Шаг 4. Работайте со скобками при вычитании
Распределительное свойство применяется и к разности: 4 × (30 − 2) = 4 × 30 − 4 × 2 = 120 − 8 = 112. Здесь множитель 4 относится и к 30, и к 2.
Но само вычитание не обладает переместительным свойством. Числа нельзя просто поменять местами: 15 − 7 = 8, а 7 − 15 = −8. Даже если в задании пока нет отрицательных чисел, ответы уже не совпадут.
Нельзя бездумно переставлять скобки и в цепочке вычитаний. (20 − 8) − 3 = 12 − 3 = 9, тогда как 20 − (8 − 3) = 20 − 5 = 15. Во втором выражении из 20 вычитают уже не 8, а результат внутри скобок.
Если нужно упростить выражение 50 − 18 − 12, можно заметить, что из 50 последовательно вычитают 18 и 12. Вместе они составляют 30, поэтому 50 − (18 + 12) = 20. Здесь скобки поставлены по правилу последовательного вычитания двух чисел; внутри стоит сумма, а не разность.
Шаг 5. Проверьте порядок при делении
Деление также чувствительно к порядку. 24 : 6 = 4, но 6 : 24 = 0,25. Переместительное свойство умножения не превращает деление в действие, где можно свободно менять числа местами.
Группировка тоже меняет значение. (48 : 4) : 2 = 12 : 2 = 6. А 48 : (4 : 2) = 48 : 2 = 24. Скобки здесь сообщают, какое деление выполнить первым.
Есть полезные преобразования с делением, но их лучше проверять отдельно. Например, 84 : 4 можно представить как (80 + 4) : 4 = 80 : 4 + 4 : 4 = 20 + 1 = 21. Так можно поступить, когда каждое слагаемое удобно делится на 4. Запись 84 : 4 = 80 : 4 + 4 была бы неверной: получилось бы 24.
Шаг 6. Сравните удобство и проверьте равенство
После преобразования посчитайте результат и убедитесь, что исходная запись даёт то же значение. Для небольших чисел это занимает несколько секунд и показывает, не потеряли ли вы множитель, знак или скобки.
Попробуйте три выражения:
- 47 + 28 + 53 = (47 + 53) + 28 = 128.
- 5 × 19 × 2 = (5 × 2) × 19 = 190.
- 6 × (20 + 4) = 6 × 20 + 6 × 4 = 144.
В первом случае помогло сложение до 100, во втором — умножение до 10, в третьем — разложение числа 24 на удобные части. Если ответ другой, проговорите вслух каждое равенство: что именно изменилось и почему значение сохранилось. Такой способ разбора ошибки описан в статье «Считает вслух — находит ошибку сам: приём для домашки по математике».
Потренироваться можно и на обычных подсчётах. Например, для четырёх одинаковых наборов по 23 предмета удобно считать 4 × (20 + 3), а для покупок стоимостью 37, 15 и 63 условные единицы — сначала сложить 37 и 63. Другие поводы замечать арифметику в повседневных делах собраны в статье «Пятнадцать раз в день — и всё математика, которую никто не замечает».
Частые вопросы
Можно ли переставлять местами числа внутри скобок?
Если внутри скобок только сумма или произведение, можно: 8 + 2 равно 2 + 8, а 8 × 2 равно 2 × 8. Если внутри стоит вычитание или деление, перестановка обычно меняет результат.
Когда лучше раскрывать скобки, а когда оставлять их?
Сравните два пути до вычисления. В 8 × (100 + 2) раскрытие даёт удобные 800 + 16. В 7 × (13 + 87) удобнее сначала сложить числа в скобках и получить 7 × 100.
Почему нельзя умножить только первое число в скобках?
Скобка обозначает единое число — сумму или разность. Если множитель стоит перед ней, он относится ко всему её значению. Поэтому 3 × (4 + 5) равно 3 × 4 + 3 × 5, а не 3 × 4 + 5.
Как понять, что преобразование действительно помогло?
После него хотя бы одна операция должна стать проще: появилась сумма до круглого числа, удобная пара множителей или умножение на десятки. Если новая запись длиннее и считать по ней труднее, вернитесь к исходной.