Чтобы решить линейное неравенство, приведите его к виду x < a, x > a, x ≤ a или x ≥ a. Складывать одно и то же число с обеими частями и вычитать его можно без смены знака. При умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак нужно развернуть: < меняется на >, а ≤ — на ≥.
Например, −2x < 8. Делим обе части на −2 и меняем знак: x > −4. Проверим число x = 0: исходное неравенство превращается в 0 < 8, оно верно. Число x = −5 не подходит: 10 < 8 неверно. Ниже — последовательность решения и упражнения, в которых особенно важно не терять знак.
Что означает ответ с неравенством
У уравнения может быть одно найденное число, а у неравенства ответ обычно описывает множество чисел. Запись x > 3 означает все числа больше 3: например, 4, 3,5 и 100. Само число 3 сюда не входит. Запись x ≥ 3 включает и 3.
Полезно различать строгие знаки < и > и нестрогие ≤ и ≥. В строгом неравенстве граничное число не подходит, потому что равенство на границе не выполняет требование «меньше» или «больше». В нестрогом подходит. Для примера x + 2 ≤ 5 решение x ≤ 3; при x = 3 исходная запись даёт 5 ≤ 5, что верно.
Отрицательные значения тоже могут входить в ответ. Если ребёнку трудно сравнивать их на числовой прямой, можно отдельно разобрать отрицательные числа и затем вернуться к проверке неравенства.
Начните с простого переноса
Решим 3x + 4 > 13. Вычитаем 4 из обеих частей: 3x > 9. Делим обе части на положительное 3: x > 3. Знак при делении не меняется, потому что делитель положительный.
Проверка границы помогает понять ответ. При x = 3 получаем 3 · 3 + 4 > 13, то есть 13 > 13. Это неверно, поэтому 3 не входит в решение. При x = 4 выходит 16 > 13 — верно.
Можно говорить «переносим 4 вправо со сменой знака», но за этой короткой фразой стоит вычитание 4 из обеих частей. Если записывать действие явно, меньше риск поменять знак самого неравенства без причины. Перенос слагаемого и разворот знака неравенства — разные действия.
Если переменная стоит с обеих сторон
Возьмём 5x − 2 ≤ 2x + 7. Сначала вычтем 2x из обеих частей: 3x − 2 ≤ 7. Затем прибавим 2: 3x ≤ 9. Делим на положительное 3 и получаем x ≤ 3.
Можно начать и с прибавления 2 к обеим частям; ответ будет тем же. Важно, чтобы на каждом шаге действие выполнялось с обеими частями. Если слева убрать −2, а справа ничего не изменить, получится уже другая задача.
Проверим граничное значение x = 3: слева 5 · 3 − 2 = 13, справа 2 · 3 + 7 = 13. Запись 13 ≤ 13 верна, значит граница включена. Для x = 4 получим 18 ≤ 15 — неверно; это согласуется с ответом x ≤ 3.
Когда знак нужно развернуть
Посмотрим на −3x ≥ 12. Чтобы получить один x, делим обе части на −3. Поскольку делитель отрицательный, знак ≥ меняется на ≤. Ответ: x ≤ −4.
Почему разворот нужен? Сравним 1 < 2. После умножения обоих чисел на −1 получим −1 и −2. Между ними верна запись −1 > −2. Порядок чисел изменился. То же происходит при умножении или делении обеих частей неравенства на любое отрицательное число.
Решим пример с несколькими действиями: 7 − 2x < 15. Вычитаем 7 из обеих частей: −2x < 8. Делим на −2 с разворотом знака: x > −4. Проверка при x = −3: 7 − 2 · (−3) = 13, а 13 < 15 верно. При x = −4 получается 15 < 15 — неверно, поэтому граница не входит.
Не нужно менять знак при каждом появлении минуса в записи. Знак разворачивается именно тогда, когда обе части умножают или делят на отрицательное число. В примере 7 − 2x < 15 после вычитания 7 знак остался прежним; он поменялся лишь на следующем шаге.
Упражнения: решите и проверьте границу
В каждом задании запишите действие с обеими частями. После получения ответа подставьте граничное число, чтобы проверить, входит ли оно в решение.
1. Решите x + 6 < 10. Вычитаем 6: x < 4. При x = 4 получаем 10 < 10, что неверно. Граница не входит.
2. Решите 4x ≥ 20. Делим на положительное 4: x ≥ 5. При x = 5 получаем 20 ≥ 20, что верно. Граница входит.
3. Решите −5x > 15. Делим на отрицательное −5 и разворачиваем знак: x < −3. Проверка при x = −4: 20 > 15 верно; при x = −3 равенство 15 > 15 неверно.
4. Решите 2x − 7 ≤ 9. Прибавляем 7: 2x ≤ 16. Делим на 2: x ≤ 8. Подстановка x = 8 даёт 9 ≤ 9, поэтому граница входит.
Эти четыре задания различаются одним решающим действием. В третьем делитель отрицательный; в остальных действия со знаком неравенства не требуют разворота.
Упражнения со скобками и переменной с двух сторон
Здесь сначала упростите запись. Не спешите делить на коэффициент при x, пока в обеих частях остаются слагаемые с переменной.
5. Решите 3(x + 2) > 2x + 9. Раскрываем скобки: 3x + 6 > 2x + 9. Вычитаем 2x и затем 6: x > 3. При x = 4 исходная запись даёт 18 > 17, что верно.
6. Решите 4 − 3x ≥ x + 12. Вычитаем x: 4 − 4x ≥ 12. Вычитаем 4: −4x ≥ 8. Делим на −4 и разворачиваем знак: x ≤ −2. При x = −2 обе части исходного неравенства равны 10.
7. Решите 2(3 − x) < 10. Раскрываем скобки: 6 − 2x < 10. Вычитаем 6: −2x < 4. Делим на −2 с разворотом знака: x > −2. При x = −1 имеем 8 < 10, что верно.
8. Решите 5x + 1 ≤ 3x − 7. Вычитаем 3x: 2x + 1 ≤ −7. Вычитаем 1: 2x ≤ −8. Делим на 2: x ≤ −4. При x = −4 обе части исходной записи равны −19.
Если ответ кажется неожиданным, подставьте по одному числу с разных сторон от границы. Такая проверка не заменяет решение, но хорошо показывает, не потерялся ли разворот знака.
Как исправить частые ошибки
Запись −2x < 6 → x < −3 неверна: деление на −2 требует разворота знака. Правильно x > −3. Можно быстро проверить x = 0. Оно удовлетворяет исходному условию 0 < 6 и должно входить в ответ; запись x < −3 его ошибочно исключает.
В решении 2x + 5 ≤ 11 → 2x ≤ 16 неверно выполнен перенос числа 5. Нужно вычесть 5 из обеих частей: 2x ≤ 6, затем x ≤ 3. Граница проверяется подстановкой: 2 · 3 + 5 = 11.
Ещё одна ошибка — потерять знак равенства. Из x − 1 ≥ 4 следует x ≥ 5, а не x > 5. При x = 5 исходное неравенство превращается в 4 ≥ 4 и остаётся верным. Следите за двумя вещами отдельно: направлением знака и тем, есть ли под ним черта.
Частые вопросы
Как записать ответ на числовой прямой?
Отметьте граничное число. Для x > 2 точка 2 пустая, а подходящие числа расположены справа. Для x ≤ 2 точка 2 закрашена, подходящие числа расположены слева. Направление удобно проверить любым числом из отмеченной части.
Что делать, если после упрощения переменная исчезла?
Проверьте оставшееся числовое утверждение. Например, из 2x + 3 > 2x + 1 после вычитания 2x получается 3 > 1. Оно верно при любом x, поэтому решением будут все числа. Если останется неверное утверждение, решений нет.
Можно ли делить обе части на выражение с x?
Без сведений о знаке этого выражения такой шаг может изменить ответ: при положительном делителе знак сохраняется, при отрицательном разворачивается, а на ноль делить нельзя. В обычных линейных неравенствах из этой статьи достаточно переносить слагаемые и делить на известное ненулевое число.