Квадратный корень из числа — это неотрицательное число, квадрат которого равен исходному. Поэтому √49 = 7: число 7 неотрицательно и 7² = 49. Ниже сначала идут упражнения на узнавание полных квадратов, затем — на вычисления и упрощение выражений. После каждого блока есть ответы, чтобы можно было сразу проверить ход решения.
Начните с короткого правила проверки: если получили √а = b, возведите b в квадрат. Для √81 ответ 9 подходит, потому что 9² = 81. Ответ −9 не подходит: его квадрат тоже равен 81, но знаком √81 обозначают именно неотрицательный корень. Это различие понадобится и в упражнениях, и при решении уравнений.
Шаг 1. Узнайте полный квадрат
Полный квадрат получается, когда целое число умножают само на себя: 6² = 36, 11² = 121. Если под знаком корня стоит такой результат, вычисление сводится к поиску исходного неотрицательного числа. Полезно выписать квадраты чисел от 1 до 12, а затем закрывать один столбец листом и восстанавливать его по памяти.
Вычислите:
- √25
- √64
- √121
- √144
- √1
- √0
Ответы. 1) 5, поскольку 5² = 25; 2) 8, поскольку 8² = 64; 3) 11, поскольку 11² = 121; 4) 12, поскольку 12² = 144; 5) 1, поскольку 1² = 1; 6) 0, поскольку 0² = 0.
Если школьник путает 8² и 9², не обязательно заново учить всю таблицу. Достаточно восстановить соседние результаты: 8² = 64, 9² = 81. Между ними нет другого квадрата целого числа. Такая проверка помогает заметить ответ, выбранный наугад.
Шаг 2. Разбейте большое число на удобные множители
Для корня из большего полного квадрата иногда проще увидеть произведение знакомых квадратов. Например, 400 = 4 × 100, поэтому √400 = √4 × √100 = 2 × 10 = 20. Это работает здесь потому, что оба множителя неотрицательны.
Попробуйте сначала представить подкоренное число как произведение двух известных квадратов, а затем вычислить:
- √225
- √324
- √900
- √1600
Ответы. 1) 225 = 9 × 25, значит √225 = 3 × 5 = 15; проверка: 15² = 225. 2) 324 = 4 × 81, значит √324 = 2 × 9 = 18; 18² = 324. 3) 900 = 9 × 100, значит √900 = 3 × 10 = 30; 30² = 900. 4) 1600 = 16 × 100, значит √1600 = 4 × 10 = 40; 40² = 1600.
Не нужно подбирать разложение долго. Если знакомый квадрат сразу не виден, можно предположить ответ и проверить умножением. Для √225 число 15 легко проверить: 15 × 15 = 225. Способ решения выбирают по тому, какое вычисление в конкретном примере короче.
Шаг 3. Соблюдайте порядок действий
Корень действует только на то выражение, которое находится под его знаком. В записи √36 + 13 сначала вычисляют √36, затем прибавляют 13. В записи √(36 + 13) под корнем находится вся сумма. Скобки меняют задачу.
Вычислите:
- √36 + 13
- √(36 + 13)
- 4 × √25 − 6
- √81 : 3 + 2
- 30 − 2 × √49
Ответы. 1) 6 + 13 = 19. 2) √49 = 7. 3) 4 × 5 − 6 = 14. 4) 9 : 3 + 2 = 5. 5) 30 − 2 × 7 = 16.
Проверять такие записи удобно в два прохода. Сначала замените каждый корень числом, сохранив остальные знаки: 30 − 2 × √49 превращается в 30 − 2 × 7. Потом выполните умножение, деление, сложение и вычитание в обычном порядке. Если сразу писать только итог, ошибку в порядке действий трудно найти.
Шаг 4. Упростите выражение с одинаковыми корнями
Корни с одинаковым подкоренным числом можно складывать как одинаковые предметы: 2√3 + 5√3 = 7√3. Число перед корнем показывает, сколько раз взято √3. Если числа под корнями различаются, это правило напрямую не действует: √2 + √3 нельзя записать как √5.
Упростите:
- 3√5 + 2√5
- 8√7 − 3√7
- √11 + 4√11 − 2√11
- 6√2 − √2
- 2√3 + 5√3 − 4√3
Ответы. 1) 5√5; 2) 5√7; 3) 3√11, так как 1 + 4 − 2 = 3; 4) 5√2; 5) 3√3, так как 2 + 5 − 4 = 3.
Когда перед корнем ничего не написано, коэффициент равен 1. Именно поэтому √11 + 4√11 — это 1√11 + 4√11. Запись с единицей нужна только во время разбора: в окончательном ответе обычно оставляют 5√11.
Шаг 5. Вынесите полный квадрат из-под корня
Иногда подкоренное число само не является полным квадратом, но содержит полный квадрат как множитель. Например, 12 = 4 × 3. Тогда √12 = √4 × √3 = 2√3. Число 3 осталось под корнем, потому что оно не стало полным квадратом.
Для первых упражнений разложение уже подсказано. Допишите результат:
- √20 = √(4 × 5) = …
- √45 = √(9 × 5) = …
- √72 = √(36 × 2) = …
- √98 = √(49 × 2) = …
Ответы. 1) 2√5; 2) 3√5; 3) 6√2; 4) 7√2. Проверить коэффициент можно обратным действием. Например, (3√5)² = 9 × 5 = 45, значит преобразование √45 = 3√5 верно.
Теперь найдите множитель без подсказки:
- √27
- √50
- √75
- √108
Ответы. 1) √27 = √(9 × 3) = 3√3. 2) √50 = √(25 × 2) = 5√2. 3) √75 = √(25 × 3) = 5√3. 4) √108 = √(36 × 3) = 6√3.
Если сразу вынести наибольший квадрат трудно, допустимы два коротких шага. Так, √108 = √(4 × 27) = 2√27 = 2 × 3√3 = 6√3. Остановиться на 2√27 можно во время вычисления, но выражение ещё упрощается: внутри 27 есть множитель 9.
Шаг 6. Сначала приведите корни к одному виду
После вынесения множителей под разными корнями иногда обнаруживается одинаковая оставшаяся часть. Тогда выражение можно сложить. Например, √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2. Сложить исходные числа под корнем и написать √26 нельзя: правило сложения корней так не устроено.
Упростите:
- √12 + √27
- √20 + √45
- √72 − √32
- 2√18 + √8
- √75 − 2√3
Ответы. 1) 2√3 + 3√3 = 5√3. 2) 2√5 + 3√5 = 5√5. 3) 6√2 − 4√2 = 2√2, поскольку 72 = 36 × 2, а 32 = 16 × 2. 4) 2 × 3√2 + 2√2 = 8√2. 5) 5√3 − 2√3 = 3√3.
В четвёртом примере важно не потерять коэффициент, который уже стоит перед корнем. Сначала √18 превращается в 3√2, затем всё это умножается на 2. Запись 2√18 = 3√2 пропускает множитель 2 и даёт неверный ответ.
Шаг 7. Проверьте, где корень, а где уравнение
Похожие записи требуют разных ответов. Значение √16 равно 4. А уравнение x² = 16 имеет два решения: x = 4 и x = −4, потому что квадраты обоих чисел равны 16. Здесь спрашивают уже не значение корня, а все числа, подходящие к условию.
Разберите три записи:
- Вычислите √100.
- Решите x² = 100.
- Решите √x = 10.
Ответы. 1) 10, так как 10² = 100. 2) x = 10 или x = −10: оба числа при возведении в квадрат дают 100. 3) x = 100: корень из 100 равен 10.
Чтобы не смешивать задания, перед вычислением прочитайте глагол в условии. «Вычислите» просит значение выражения. «Решите» просит найти все значения переменной, при которых равенство верно. Проверка подстановкой сразу показывает разницу между этими действиями.
Как заниматься с этим набором
Можно решать по одному блоку за раз. После каждого примера попросите школьника назвать короткую проверку: какой квадрат он узнал, что осталось под корнем или почему одинаковые корни удалось сложить. Это помогает отличить понятный ход от угаданного ответа.
Если ошибка появилась в вычислении без корней, вернитесь к этому действию отдельно. Например, при решении 30 − 2 × √49 ребёнок может верно получить √49 = 7, но затем сначала вычесть 2 из 30. Здесь полезно вспомнить обычный порядок действий. Его удобно разобрать на примерах из статьи «Свойства арифметических действий: как упрощать вычисления».
Частые вопросы
Как проверить ответ, если под корнем осталось число?
Возведите результат в квадрат. Например, для √20 = 2√5 проверка такая: (2√5)² = 4 × 5 = 20. Она подтверждает равенство исходного и полученного выражений.
Что делать, если не помню квадрат числа?
Умножьте предполагаемый ответ на себя. Для √169 можно проверить 13 × 13 = 169. Если произведение другое, возьмите соседнее число и повторите проверку.
Нужно ли находить десятичное значение √3 в этих упражнениях?
Нет. В заданиях на упрощение запись 5√3 — точный ответ. Десятичное приближение понадобится, только если условие отдельно попросит приблизительное значение.
Почему √(−9) не входит в упражнения?
В действительных числах квадрат любого числа неотрицателен. Поэтому действительного числа, квадрат которого равен −9, нет. В этой статье под корнем стоят только неотрицательные числа.