Наименьшее общее кратное, или НОК, — самое маленькое положительное число, которое делится без остатка на каждое из данных чисел. Например, НОК чисел 6 и 8 равен 24: на 24 делятся и 6, и 8, а меньшего положительного общего кратного у них нет.
Для небольших чисел удобнее выписать кратные и найти первое совпадение. Для чисел побольше можно разложить каждое на простые множители и собрать произведение, содержащее все нужные множители. Ниже разберём оба способа и задачи, где НОК обозначает время до следующего совпадения событий.
Найдите первое совпадение в списках
Кратные числа 6 получаются при умножении 6 на 1, 2, 3 и так далее: 6, 12, 18, 24, 30, 36… Кратные числа 8: 8, 16, 24, 32, 40… Число 24 есть в обоих списках впервые. Значит, НОК(6, 8) = 24.
Проверка делением: 24 ÷ 6 = 4, а 24 ÷ 8 = 3. Одной проверки делением недостаточно, чтобы назвать число наименьшим: например, 48 тоже делится на 6 и 8. Поэтому при поиске списком важно начинать с небольших кратных и двигаться по порядку до первого совпадения.
Попробуйте с числами 4 и 10. Кратные 4: 4, 8, 12, 16, 20… Кратные 10: 10, 20… Первое совпадение — 20, поэтому НОК(4, 10) = 20. Не нужно выписывать списки до ста, если совпадение уже найдено.
Для двух чисел можно вести один список и проверять числа из него на делимость на второе. Например, ищем НОК(9, 12). Берём кратные 12: 12, 24, 36. Первые два не делятся на 9, а 36 ÷ 9 = 4. Следовательно, НОК равен 36.
Когда достаточно одного числа
Иногда одно из чисел уже делится на другое. Тогда большее число и будет НОК. Например, НОК(5, 20) = 20, потому что 20 делится и на 5, и на 20. Положительное общее кратное не может быть меньше 20: любое положительное кратное 20 начинается с самого числа 20.
То же видно на примере 7 и 42: 42 ÷ 7 = 6, поэтому НОК(7, 42) = 42. Перед длинным решением полезно проверить делимость большего числа на меньшее. Это экономит запись, а заодно помогает понять, почему ответ иногда совпадает с одним из исходных чисел.
Если числа равны, НОК тоже равно этому числу: НОК(11, 11) = 11. Здесь не возникает двух разных рядов для поиска: кратные у чисел одинаковые.
Разложите числа на простые множители
Когда ряды кратных становятся длинными, удобно разложить числа на простые множители. Простое число делится без остатка только на 1 и само себя. Если нужно освежить это понятие, пригодится статья «Простые числа: как объяснить ребёнку делители».
Найдём НОК(18, 24). Разложения такие:
- 18 = 2 × 3 × 3;
- 24 = 2 × 2 × 2 × 3.
Чтобы итог делился на 18, в его разложении нужны одна двойка и две тройки. Чтобы он делился на 24, нужны три двойки и одна тройка. Берём для каждого простого множителя столько повторений, сколько их больше в одном из разложений: три двойки и две тройки.
Получаем 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 72. Проверка: 72 ÷ 18 = 4, 72 ÷ 24 = 3. Значит, 72 — общее кратное. Почему оно наименьшее? Любому общему кратному потребуются как минимум те же три двойки и две тройки, чтобы делиться на оба исходных числа. Их произведение и даёт минимальный вариант.
Ещё пример — НОК(12, 30):
- 12 = 2 × 2 × 3;
- 30 = 2 × 3 × 5.
Берём две двойки, одну тройку и одну пятёрку: 2 × 2 × 3 × 5 = 60. Проверяем: 60 ÷ 12 = 5 и 60 ÷ 30 = 2. Не нужно перемножать все множители из обоих разложений подряд: общие двойка и тройка уже учтены в выбранном наборе.
Записывать разложения можно в строчку. Главное — не потерять одинаковые множители: у 12 две двойки, а у 30 одна. Для НОК нужны две, потому что это большее количество повторений.
Проверьте смысл ответа в задаче на повторение
НОК помогает найти первое следующее совпадение событий, которые повторяются через постоянные промежутки и вначале произошли одновременно. Допустим, один сигнал звучит каждые 6 минут, другой — каждые 8 минут. Оба прозвучали в 10:00. Когда они снова прозвучат вместе?
Через 6 минут звучит первый сигнал, через 8 — второй. Одновременный момент должен наступить через число минут, которое делится и на 6, и на 8. Наименьшее такое число — 24. Значит, следующее совпадение будет в 10:24.
Здесь важно ответить на тот вопрос, который задан. 24 минуты — время ожидания после 10:00. 10:24 — время на часах. Если спрашивают «через сколько минут», пишите 24 минуты; если «в котором часу», пишите 10:24.
Рассмотрим другой законченный сюжет. Два украшения на витрине мигают с интервалами 9 и 12 секунд. В 15:30:00 они мигнули одновременно. НОК(9, 12) = 36: кратные 12 — 12, 24, 36, и 36 впервые делится на 9. Оба украшения снова мигнут одновременно через 36 секунд, в 15:30:36.
Если события не начались вместе, одних интервалов для такого расчёта недостаточно: нужно знать, когда произошло каждое из них. В приведённых задачах начальное совпадение указано прямо, поэтому ответ определяется однозначно.
Отличите НОК от похожего вопроса
Слова «кратное» и «делитель» легко перепутать. НОК ищут, когда требуется число, которое само делится на каждое из данных чисел. Для 6 и 8 это 24, 48, 72 и другие общие кратные; выбирают самое маленькое положительное.
Если же спрашивают, на какое наибольшее число можно разделить оба исходных числа без остатка, это уже другая задача — о наибольшем общем делителе. Например, для 6 и 8 таким делителем будет 2. Числа 2 и 24 отвечают на разные вопросы.
В задачах о событиях ориентир простой: ищем время, через которое каждый цикл успеет завершиться целое число раз. Для интервалов 6 и 8 минут за 24 минуты первый цикл пройдёт четыре раза, второй — три раза. Поэтому их окончания совпадут.
Решите несколько примеров
Найдите НОК двух чисел:
- 6 и 15.
- 8 и 20.
- 14 и 21.
- 9 и 36.
Примените НОК к ситуации:
- Два таймера подают сигнал каждые 10 и 15 минут. Оба подали сигнал в 12:00. Через сколько минут прозвучит следующий общий сигнал и в котором часу?
- Два световых индикатора вспыхивают каждые 4 и 6 секунд. Они вспыхнули вместе в 18:45:00. В какое время будет следующая совместная вспышка?
Ответы с проверкой
- Кратные 6: 6, 12, 18, 24, 30. Кратные 15: 15, 30. Первое совпадение — 30.
- 8 = 2 × 2 × 2, 20 = 2 × 2 × 5. Берём три двойки и пятёрку: 2 × 2 × 2 × 5 = 40. Проверка: 40 ÷ 8 = 5, 40 ÷ 20 = 2.
- 14 = 2 × 7, 21 = 3 × 7. Берём 2, 3 и 7: 2 × 3 × 7 = 42. Оно делится на 14 и на 21.
- 36 делится на 9, поэтому НОК(9, 36) = 36.
- Кратные 10: 10, 20, 30. Кратные 15: 15, 30. Следующий общий сигнал прозвучит через 30 минут, в 12:30.
- НОК(4, 6) = 12: число 12 делится на 4 и 6, а меньшего положительного общего кратного нет. Следующая совместная вспышка будет в 18:45:12.
Если в задаче ответ оказался меньше одного из интервалов, проверьте вычисление. Следующее общее совпадение после одновременного начала не может наступить раньше, чем завершится каждый из двух циклов.
Частые вопросы
У двух чисел всегда есть НОК?
У любых двух положительных целых чисел есть общее кратное: например, их произведение делится на каждое из них. Среди положительных общих кратных всегда найдётся наименьшее.
Может ли НОК быть равно произведению чисел?
Да. Для 4 и 9 НОК равно 36, то есть 4 × 9. Но так бывает не всегда: НОК(6, 8) = 24, тогда как 6 × 8 = 48. Произведение даст общее кратное, но оно может оказаться не самым маленьким.
Как проверить ответ без длинного списка кратных?
Разделите предполагаемый НОК на оба числа без остатка. Затем проверьте, нельзя ли уменьшить ответ, убрав из его разложения один из простых множителей и сохранив делимость на оба числа. Для 72 при числах 18 и 24 убрать двойку нельзя: 36 не делится на 24. Убрать тройку тоже нельзя: 24 не делится на 18.