Три полезных построения циркулем и линейкой основаны на одном действии: провести дуги одинакового радиуса и соединить их точки пересечения. Так можно найти середину отрезка и перпендикуляр к нему, разделить угол пополам, а также провести перпендикуляр через заданную точку на прямой.
Под «линейкой» здесь понимается прямой край без использования делений: им проводят прямые, а длины переносят циркулем. Для каждого построения оставляйте вспомогательные дуги на рисунке. По ним видно, какие расстояния равны и почему полученная линия выполняет задачу.
Подготовьте аккуратный чертёж
Возьмите бумагу, остро заточенный карандаш, циркуль и линейку. Точки пересечения дуг отмечайте только после того, как увидели обе дуги. Слишком короткая дуга может оборваться до пересечения; слишком жирная линия сделает точку неточной. Удобно сначала вести лёгкие вспомогательные линии, а окончательную прямую выделить после проверки.
Развод циркуля в пределах одного шага сохраняйте неизменным. Когда нужно выбрать новый радиус, это будет сказано отдельно. Чтобы сравнить расстояния, поставьте иглу циркуля в одну точку, карандаш — в другую и перенесите полученный раствор на нужный отрезок. Числа для этих задач не требуются.
Каждое построение ниже дано с буквами. Если на вашем рисунке буквы другие, сохраняйте роли точек: что является центром дуги, что — её пересечением с прямой и какие две точки надо соединить.
1. Серединный перпендикуляр к отрезку
Задача: дан отрезок AB. Нужно провести прямую, которая проходит через его середину и образует с ним прямой угол.
Раскройте циркуль на расстояние больше половины AB. Точную половину измерять не нужно: подойдёт, например, раствор, который заметно больше половины отрезка, но позволяет начертить дуги на листе. Поставьте иглу в A и проведите дуги над и под отрезком. Не меняя раствор, поставьте иглу в B и проведите встречные дуги. Отметьте верхнее пересечение P, нижнее — Q. Линейкой проведите прямую PQ; её пересечение с AB обозначьте M.
Почему получилось нужное построение? Точка P находится на дугах с центрами A и B, проведённых одним радиусом. Значит, PA = PB. То же верно для Q: QA = QB. Прямая через две точки, равноудалённые от концов отрезка, проходит через середину AB под прямым углом.
Проверьте результат циркулем: расстояния AM и MB должны совпасть. Прямой угол можно проверить угольником, если он есть, но для самого построения он не нужен. Если дуги не встретились, увеличьте радиус: при растворе меньше половины AB общего пересечения у них не будет.
2. Биссектриса угла
Задача: дан угол AOB, где O — вершина. Нужно провести луч из O, делящий угол на две равные части.
Поставьте иглу циркуля в O и проведите дугу, которая пересечёт обе стороны угла. Точку на луче OA назовите D, точку на луче OB — E. Обе точки получены одной дугой, поэтому OD = OE.
Теперь выберите раствор циркуля, при котором дуги из D и E пересекутся внутри угла. Из D проведите короткую дугу в сторону внутренней области угла. Тем же раствором проведите дугу из E. Их внутреннее пересечение назовите F. Линейкой проведите луч OF.
Проверка опирается на равные расстояния: OD = OE, а DF = EF, поскольку две последние дуги начерчены одинаковым радиусом. Отрезок OF общий для двух треугольников ODF и OEF. Поэтому углы по обе стороны от OF равны.
Если дуги из D и E не встретились внутри угла, увеличьте их радиус. Если пересечений получилось два, выбирайте то, что находится внутри данного угла. Луч нужно вести именно из вершины O через выбранную точку F: линия между D и E не является биссектрисой.
3. Перпендикуляр через точку на прямой
Задача: дана прямая l и точка O, лежащая на ней. Нужно провести через O прямую, перпендикулярную l.
Поставьте иглу циркуля в O, выберите удобный радиус и отметьте на прямой две точки по разные стороны от O: A и B. Они должны быть получены одним и тем же раствором, тогда OA = OB. Точка O уже является серединой отрезка AB.
Раскройте циркуль на расстояние больше OA. Из A и B, не меняя раствора, проведите дуги с одной стороны прямой. Назовите их пересечение P. Линейкой проведите прямую OP.
Точка P одинаково удалена от A и B. Вместе с серединой O она задаёт серединный перпендикуляр к AB. Поскольку AB лежит на прямой l, прямая OP перпендикулярна l. Для дополнительной проверки можно провести те же дуги с другой стороны прямой: их пересечение должно оказаться на продолжении OP.
Здесь важно не перепутать радиусы. Первый, с центром в O, только отмечает равноудалённые точки A и B. Второй, одинаковый для дуг из A и B, создаёт их пересечение P. Если менять раствор между этими двумя дугами, равенство PA = PB исчезнет.
Как выбрать построение по условию
Если в условии дан отрезок и нужно найти его середину или прямую через середину под прямым углом, начинайте с дуг из концов отрезка. Если дан угол и нужно разделить его на две части, сначала получите две точки на сторонах одной дугой из вершины. Если указаны прямая и точка на ней, сначала отметьте на прямой две точки на равном расстоянии от заданной.
Различать эти три задачи полезно ещё до работы циркулем. Спросите себя, какая точка уже задана: концы отрезка, вершина угла или точка на прямой. Затем определите, какие равные расстояния надо создать. Такой короткий устный разбор помогает заметить ошибку в ходе чертежа; близкий приём для проверки математических действий описан в статье «Считает вслух — находит ошибку сам: приём для домашки по математике».
Где чаще всего сбивается построение
Когда пересечение дуг едва различимо, причина часто в слишком коротких дугах. Продлите обе, сохранив их центры и радиусы. Если пересечения нет вовсе, проверьте раствор: в первой и третьей задачах он должен быть больше половины расстояния между центрами дуг.
Другая ошибка — поставить иглу приблизительно рядом с отмеченной точкой. Тогда даже одинаковый раствор не даст требуемых равенств. Укол должен приходиться в центр отметки. На бумаге с толстыми линиями лучше обозначить точку маленьким крестиком и проводить дуги лёгким нажимом.
Наконец, не стирайте все дуги до проверки. Прямая может выглядеть верной на глаз, но именно дуги показывают, что использовался одинаковый радиус. В быту циркуль может понадобиться реже, чем счёт, однако привычка проверять условие задачи встречается и в простых ситуациях; примеры есть в статье «Пятнадцать раз в день — и всё математика, которую никто не замечает».
Частые вопросы
Почему нельзя просто измерить отрезок линейкой и отметить половину?
В этих задачах требуется построение циркулем и прямым краем линейки без делений. Дуги дают середину без измерения длины числом и одновременно задают перпендикуляр.
Что делать, если циркуль сдвинулся между двумя дугами?
Проведите пару дуг заново с одним раствором. Равенство расстояний от точки пересечения до двух центров — основа проверки; при разном растворе его нельзя использовать.
Можно ли для серединного перпендикуляра взять только верхнее пересечение дуг?
Одной точки P недостаточно, чтобы провести определённую прямую: через неё проходит много прямых. Нужна вторая точка Q или уже известная середина отрезка.
Если точка лежит у края листа, как провести перпендикуляр?
Возьмите меньший первый радиус, чтобы точки A и B поместились на прямой по обе стороны от O. Затем выберите радиус дуг из A и B, достаточный для их пересечения на доступной части листа.