Если высоты двух треугольников равны, их площади относятся как длины тех оснований, к которым проведены эти высоты. Если у треугольников равен угол между двумя рассматриваемыми сторонами, отношение площадей равно отношению произведений этих пар сторон. В обоих случаях сначала нужно назвать соответствующие элементы, а уже потом подставлять числа.
Запись «площади относятся как стороны» сама по себе недостаточна: у треугольника три стороны, и произвольная пара не подойдёт. Разберём, как выбрать нужные отрезки, проверить условие на рисунке и получить ответ без измерения площадей по клеткам.
Шаг 1. Зафиксируйте порядок в отношении
Пусть требуется найти S₁:S₂. Сразу подпишите на рисунке, какой треугольник первый, а какой второй. Все следующие отношения записывайте в том же порядке: сначала элемент первого треугольника, затем соответствующий элемент второго.
Например, если площадь первого треугольника вдвое больше площади второго, ответ — 2:1. Запись 1:2 описывает обратное отношение, хотя в ней участвуют те же числа. Особенно легко перепутать порядок, когда один треугольник расположен внутри другого.
Если на чертеже нет длин, но есть буквенные обозначения, оставьте ответ буквенным. Для доказательства это часто лучше, чем приблизительные измерения линейкой: рисунок может быть выполнен в другом масштабе.
Шаг 2. При равных высотах сравните основания
Площадь треугольника вычисляют по формуле S=(1)/(2) ah, где a — длина выбранного основания, а h — перпендикулярное расстояние от противоположной вершины до прямой этого основания.
Пусть для первого треугольника выбраны основание a₁ и высота h₁, а для второго — основание a₂ и высота h₂. Тогда
(S₁)/(S₂)=(a₁h₁)/(a₂h₂).
Если h₁=h₂, одинаковые множители сокращаются:
(S₁)/(S₂)=(a₁)/(a₂).
Существенная деталь — каждая высота должна относиться к названному рядом с ней основанию. Нельзя взять длину одной стороны, высоту к другой и сократить высоты только потому, что на рисунке какие-то перпендикуляры выглядят одинаково.
Представим два треугольника с основаниями 6 и 9 см. Перпендикулярные расстояния от противоположных вершин до прямых этих оснований равны 4 см. Тогда площади составляют 12 и 18 см², а их отношение — 6:9=2:3. Сами площади здесь посчитаны лишь для проверки; равенство высот позволяет сразу сравнить основания.
Шаг 3. Узнайте равную высоту на чертеже
Частый случай: треугольники ABC и ABD имеют общее основание AB, а вершины C и D лежат на прямой, параллельной AB. Их высоты к AB равны как расстояния между параллельными прямыми. Основания тоже равны, поэтому площади равны. Положение вершин вдоль параллельной прямой на этот вывод не влияет.
Другой случай: точки B, D и C лежат на одной прямой, а треугольники ABD и ADC имеют общую вершину A. Для них можно выбрать основания BD и DC. Высота из A к прямой BC одна и та же, значит,
S(ABD):S(ADC)=BD:DC.
Если BD=3 см, а DC=5 см, площади относятся как 3:5. Неважно, попадает ли основание перпендикуляра из A внутрь отрезка BD или DC: высота измеряется до прямой, на которой лежит основание.
Равенство высот можно получить и без общей прямой оснований. Например, у треугольников с основаниями на разных прямых высоты могут быть заданы как равные в условии. Тогда работает та же формула. Но внешнее сходство двух наклонных отрезков на рисунке равенство перпендикулярных расстояний не доказывает.
Шаг 4. При общем угле выберите две стороны вокруг него
Для двух сторон a и b, заключающих угол α, площадь равна
S=(1)/(2) absinα.
Пусть у треугольников ABC и ADE углы BAC и DAE равны. В первом треугольнике этот угол лежит между сторонами AB и AC, во втором — между AD и AE. Поэтому
(S(ABC))/(S(ADE)) =(AB· AC)/(AD· AE).
Множитель (1)/(2) и синус равных углов сокращаются. Для применения правила не требуется, чтобы один треугольник находился внутри другого. Требуется равенство именно тех углов, которые заключены между выбранными парами сторон.
Допустим, AB=4, AC=9, AD=6, AE=3, а указанные углы равны. Тогда
S(ABC):S(ADE)=(4·9):(6·3)=36:18=2:1.
Ошибкой было бы сравнить только AB:AD=4:6: вторые стороны AC и AE тоже влияют на площадь. Если обе пары соответствующих сторон увеличены вдвое при том же угле, площадь увеличится вчетверо — в произведении появятся два множителя по 2.
Шаг 5. Разберите случай с одной общей стороной
Иногда два треугольника имеют не только равный угол, но и одну общую сторону. Пусть ABC и ABD имеют сторону AB, а углы BAC и BAD равны. По формуле через угол
S(ABC):S(ABD)=(AB· AC):(AB· AD)=AC:AD.
Здесь сравниваются стороны AC и AD, которые вместе с общей стороной AB образуют равные углы. Общая сторона сокращается. Такое короткое отношение может напоминать правило равных высот, однако основание у вывода другое: использовано равенство углов.
Перед сокращением нарисуйте или назовите оба треугольника полностью. Если углы при A различаются, одной общей стороны недостаточно. Тогда вместе с длинами сторон в отношении останутся и синусы углов.
Как выбрать способ в задаче
Начните с того, что прямо дано или следует из геометрии чертежа. Общая высота, основания на одной прямой, вершины на параллельной ей прямой — повод записать площади через основания и высоты. Равные отмеченные углы и известные стороны вокруг них — повод использовать произведения сторон.
Иногда доступны оба способа. Для треугольников с общей вершиной и основаниями на одной прямой сравнение оснований обычно короче. Если известны четыре стороны вокруг равного угла, формула через синус избавляет от поиска высот. Выбор способа не меняет площадь; он помогает использовать именно те данные, которые уже есть.
Полезно проговаривать одну строку обоснования: «высоты к BD и DC равны, так как проведены из A к одной прямой». Такой приём близок к подходу из статьи «Считает вслух — находит ошибку сам»: произнесённое основание шага помогает заметить, что нужное условие на самом деле не проверено.
Где чаще возникает ошибка
Берут несоответствующие основание и высоту. Нарисуйте прямой угол у основания высоты. Если перпендикуляр проведён к другой стороне, замените либо основание, либо высоту в записи S=(1)/(2) ah.
При общем угле сравнивают по одной стороне. Подчеркните у каждого треугольника две стороны, выходящие из вершины равного угла. Запишите оба произведения полностью и только потом сокращайте общий множитель.
Доверяют масштабу рисунка. Длинная на вид сторона может изображать меньший заданный отрезок. В доказательстве опирайтесь на числовые данные, отметки равенства, параллельности и перпендикулярности. Приблизительный рисунок помогает найти идею, но не заменяет её обоснование.
Путают порядок отношения. После вычисления словами проверьте результат: если числитель получился больше знаменателя, площадь первого треугольника должна быть больше. Привычка сопоставлять запись с реальным смыслом числа полезна и за пределами чертежей — простые примеры собраны в статье «Пятнадцать раз в день — и всё математика, которую никто не замечает».
Частые вопросы
Можно ли сравнить основания, если они лежат на разных прямых?
Да, если высоты, проведённые именно к этим основаниям, равны по длине. Общая прямая оснований — удобный способ установить равенство высот, но не обязательное условие самой формулы.
Что делать, если высоты не равны?
Оставьте обе высоты в отношении: S₁:S₂=(a₁h₁):(a₂h₂). Сокращать можно только известные равные множители. Если высоты неизвестны, проверьте, нет ли данных о равных углах и сторонах вокруг них.
Достаточно ли общего угла для численного ответа?
Нет. Равный угол позволяет сократить его синус, но для численного отношения нужны длины соответствующих сторон или отношения этих длин. Без них получится только буквенная формула.
Можно ли получить отношение площадей без самих площадей?
Да. При равных высотах достаточно отношения соответствующих оснований; при равных заключённых углах — отношения произведений соответствующих пар сторон. Вычислять площади по отдельности необязательно.