У прямой и окружности может быть две общие точки, одна или ни одной. Чтобы определить случай без догадок по рисунку, сравните радиус окружности r с расстоянием d от её центра до прямой. Если d
Расстояние до прямой измеряют по перпендикуляру, опущенному из центра, а не по наклонному отрезку к любой точке прямой. Именно этот отрезок показывает, насколько близко прямая подходит к центру. Разберём, почему сравнение работает и как им пользоваться в задачах.
Что именно нужно сравнивать
Пусть O — центр окружности, l — прямая. Опустим из O перпендикуляр на l и назовём его основание H. Длина OH и есть расстояние d от центра до прямой. Радиус r — расстояние от O до любой точки окружности.
Среди всех отрезков от O до точек прямой l отрезок OH самый короткий. Поэтому сначала достаточно посмотреть на него. Если даже ближайшая точка прямой дальше от центра, чем радиус, прямая не достигнет окружности. Если ближайшая точка лежит на окружности, происходит касание. Если она внутри окружности, прямая войдёт в круг и выйдет из него.
Здесь «круг» означает всю область внутри границы, а «окружность» — саму границу. Когда мы считаем общие точки, нас интересуют точки окружности на прямой. Это различие особенно важно в случае секущей: часть прямой между двумя пересечениями проходит внутри круга, но на окружности лежат только её концы.
Когда прямая секущая
При d
Если секущая проходит через центр, то d=0: центр сам лежит на прямой. Две точки пересечения при этом остаются, а отрезок между ними является диаметром. Значит, прямая через центр — частный случай секущей, а не отдельный четвёртый вариант.
На рисунке секущую легко узнать по двум отмеченным пересечениям, но в задаче чертёж может быть неточным. Надёжный признак — сравнение расстояния от центра до прямой с радиусом. Например, при r=6 см и d=4 см прямая секущая, поскольку ближайшая точка прямой находится ближе к центру, чем точки окружности.
Когда прямая касательная
При d=r основание перпендикуляра H лежит на окружности: OH равно радиусу. Любая другая точка прямой находится от O дальше, чем H, поэтому на окружности остаётся только одна общая точка. Прямую называют касательной, а H — точкой касания.
Отсюда следует важное свойство: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Если на рисунке дана точка T окружности и нужно провести через неё касательную, проведите радиус OT, затем прямую через T, перпендикулярную OT. Это и будет нужная прямая.
Обратная проверка устроена так же. Если прямая проходит через точку T окружности и перпендикулярна OT, кратчайшее расстояние от центра до прямой равно OT=r. Значит, прямая касается окружности в T. Одного факта, что прямая проходит через точку окружности, недостаточно: она может пересекать её ещё раз.
Когда прямая проходит снаружи
При d>r точка H, ближайшая к центру среди точек прямой, уже находится за окружностью. Все остальные точки прямой ещё дальше от O. Поэтому общих точек у прямой и окружности нет; такую прямую можно назвать внешней.
Например, радиус окружности равен 5 см, а расстояние от центра до прямой — 7 см. До ближайшей точки прямой не хватает радиуса: 7 больше 5. Продлевать прямую на рисунке бессмысленно — при движении вдоль неё расстояние до центра не станет меньше 7 см.
Не путайте внешнюю прямую с отрезком, который просто нарисован коротким. Если перед вами именно бесконечная прямая, её положение определяется расстоянием d, даже когда на листе показана только часть.
Три случая в одной таблице
| Сравнение | Общих точек | Название прямой |
|---|---|---|
d| 2 | секущая | |
| d=r | 1 | касательная |
| d>r | 0 | внешняя |
Порядок строк можно запомнить через движение прямой от центра наружу. Пока её расстояние от центра меньше радиуса, она пересекает окружность дважды. На расстоянии, равном радиусу, два пересечения сходятся в одну точку касания. Дальше общих точек не остаётся.
Для решения не обязательно рисовать все три положения. Подпишите известные r и d, сравните числа с одинаковыми единицами измерения и только потом назовите случай. Если дано r=40 мм, а d=3 см, сначала приведите их к одной единице: 40 мм — это 4 см, значит, d Задача 1. Радиус окружности 8 см, расстояние от центра до прямой 8 см. Сколько общих точек? Ответ: одна. Расстояние равно радиусу, поэтому прямая касательная. Радиус, проведённый к этой точке, перпендикулярен прямой. Задача 2. Прямая проходит через центр окружности радиуса 3 см. Как она расположена? Ответ: это секущая. Расстояние от центра до прямой равно нулю, а 0<3. У прямой две общие точки с окружностью. Задача 3. У окружности радиус 12 мм. Кратчайшее расстояние от её центра до прямой равно 15 мм. Пересечёт ли прямая окружность, если продолжить её на чертеже? Ответ: нет. Число 15 больше 12; кратчайшее расстояние уже превышает радиус. Задача 4. Прямая проходит через точку A окружности, но не перпендикулярна радиусу OA. Может ли она быть касательной? Ответ: нет. В точке касания касательная перпендикулярна радиусу. Такая прямая проходит через A и ещё одну точку окружности, то есть является секущей. Чтобы проверить свой ответ, полезно произнести полную цепочку: «расстояние от центра до прямой меньше радиуса, значит, две общие точки». Приём проговаривания проверки разбирается в статье «Считает вслух — находит ошибку сам: приём для домашки по математике». Часто за d принимают расстояние от центра до произвольной точки прямой. Такой отрезок может быть длиннее радиуса даже у секущей. Сначала найдите перпендикуляр из центра к прямой и только его длину сравнивайте с r. Другая ошибка — считать, что если прямая касается круга на рисунке «краешком», этого достаточно для ответа. Толщина карандашной линии может скрыть второе пересечение или небольшой зазор. В задаче с числами решает точное сравнение. В задаче с чертежом проверяйте перпендикулярность радиуса в предполагаемой точке касания. Ещё одно смешение касается слова «пересекает»: иногда им называют любой случай с общей точкой. Если требуется выбрать между секущей и касательной, укажите число общих точек. Две — секущая, одна — касательная. Для задач, где измерения встречаются вне учебника, можно посмотреть «Пятнадцать раз в день — и всё математика, которую никто не замечает». Нет. У прямой через центр расстояние от центра равно нулю. При положительном радиусе это меньше r, поэтому она секущая и имеет две общие точки с окружностью. Разделите диаметр пополам, чтобы получить радиус, затем сравните его с расстоянием от центра до прямой. Следите, чтобы обе длины были выражены в одинаковых единицах. Проведите из центра перпендикуляр к прямой. Длина отрезка от центра до точки, где перпендикуляр встретил прямую, и есть нужное расстояние. Наклонный отрезок до другой точки не подходит. Да, кроме самой точки касания. Эта точка лежит на границе круга, а остальные точки касательной находятся от центра дальше радиуса.Задачи с ответами
Ошибки, которые меняют ответ
Частые вопросы
Может ли касательная проходить через центр окружности?
Что делать, если в условии дан диаметр, а не радиус?
Как найти расстояние от центра до прямой на рисунке?
Если прямая касается окружности, вся ли она находится снаружи круга?