Размах числового ряда показывает расстояние между его наибольшим и наименьшим числами. Чтобы его найти, выберите эти два числа и вычтите меньшее из большего: размах = максимум − минимум. Например, у ряда 4, 9, 2, 7 размах равен 9 − 2 = 7.
Порядок записи чисел не влияет на ответ. Повторения тоже: если в ряд 4, 9, 2, 7 добавить ещё одну девятку, крайние значения останутся прежними. Главная задача — внимательно найти минимум и максимум, особенно когда числа записаны вперемешку или среди них есть отрицательные.
Что именно измеряет размах
Представьте все числа ряда точками на числовой прямой. Минимум стоит левее остальных, максимум — правее. Размах показывает длину отрезка между ними. Все остальные числа находятся внутри этого отрезка или совпадают с его концами.
У ряда 3, 5, 8 крайние числа — 3 и 8, поэтому размах равен 5. Если добавить 6, ответ не изменится: число 6 лежит между прежними крайними значениями. Если добавить 11, максимум изменится и размах станет 11 − 3 = 8. Если к исходному ряду 3, 5, 8 добавить 1, изменится минимум и получится 8 − 1 = 7.
По одному размаху нельзя восстановить весь ряд. У рядов 2, 5, 10 и 2, 3, 4, 8, 10 размах одинаковый — 8, хотя чисел в них разное количество и расположены они по-разному.
Как не пропустить крайние числа
Для короткого ряда удобно читать числа слева направо и мысленно держать две отметки: «самое маленькое пока» и «самое большое пока». Возьмём ряд 12, 5, 18, 5, 9, 14.
Сначала обе отметки равны 12. Число 5 меньше — теперь минимум равен 5. Число 18 больше — максимум равен 18. Оставшиеся 5, 9 и 14 не меняют крайние значения. Размах: 18 − 5 = 13.
Можно сначала упорядочить ряд: 5, 5, 9, 12, 14, 18. Тогда минимум и максимум сразу видны на концах. Но сортировка не обязательна: в длинном ряду на неё порой уходит больше времени, чем на поиск двух крайних чисел. Если переписываете ряд по порядку, проверьте, что не потеряли число и не изменили его знак.
Проверка ответа: найденный размах не может быть отрицательным, потому что вычитаете минимум из максимума. Если вышло число со знаком минус, вероятно, вы переставили их местами.
Повторения и ряд из одного числа
Повторяющиеся значения нужно учитывать при поиске крайних чисел, но отдельно вычитать каждое из них не требуется. В ряду 6, 2, 6, 11, 2, 6 минимум равен 2, максимум — 11. Размах: 11 − 2 = 9. То, что двойка и шестёрка встречаются несколько раз, вычисление не меняет.
Если все значения одинаковы, размах равен нулю. Для ряда 7, 7, 7 максимум и минимум совпадают: 7 − 7 = 0. Это означает, что расстояния между крайними значениями нет.
То же правило работает для ряда из одного элемента. У ряда 23 максимум и минимум равны 23, поэтому размах равен 0. Добавлять второе число ради вычисления не нужно.
Что меняется с отрицательными числами
С отрицательными числами чаще ошибаются при выборе минимума. На числовой прямой −12 меньше, чем −3: оно расположено левее. Поэтому в ряду −3, −12, −5 минимум равен −12, а максимум — −3.
Теперь вычитаем: −3 − (−12) = −3 + 12 = 9. Скобки помогают увидеть, что вычитается отрицательное число. Если их опустить при записи, легко потерять один из знаков.
Когда в ряду есть и отрицательные, и положительные числа, максимум обычно заметен сразу, но минимум всё равно стоит проверить. Для ряда 4, −7, 0, 12, −2 крайние значения — −7 и 12. Размах равен 12 − (−7) = 19. На числовой прямой от −7 до нуля семь единиц, от нуля до 12 ещё двенадцать; всего девятнадцать.
Ряд 0, −1, −8, −4 устроен иначе: его максимум — 0, а минимум — −8. Получается 0 − (−8) = 8. Ноль больше любого отрицательного числа, хотя в записи у него нет знака «плюс».
Как отличить размах от других ответов
Размах иногда путают со средним арифметическим. Для ряда 2, 6, 10 размах равен 10 − 2 = 8. Среднее арифметическое находят другой операцией: (2 + 6 + 10) : 3 = 6. Эти числа отвечают на разные вопросы: одно показывает расстояние между крайними значениями, другое — среднее значение ряда.
Количество чисел тоже не является размахом. В ряду 1, 1, 1, 9 четыре элемента, а размах равен 9 − 1 = 8. Если дописать ещё десять единиц, элементов станет четырнадцать, но размах останется 8.
Есть и ошибка, похожая на верное действие: вычесть первое записанное число из последнего. Для ряда 8, 3, 12, 5 это даст 5 − 8 = −3. Однако крайние по значению числа здесь 3 и 12, поэтому правильный ответ — 9. Положение числа в записи не говорит о его величине.
Проверьте себя на пяти рядах
Попробуйте сначала отметить минимум и максимум, затем вычислить размах. Ответы находятся сразу под заданиями, чтобы можно было проверить не только итоговое число, но и выбор крайних значений.
- 14, 8, 21, 11, 8.
- −6, −2, −9, −4.
- 3, −5, 7, 0, −1.
- 12, 12, 12, 12.
- 19.
В первом ряду минимум — 8, максимум — 21, размах равен 13. Во втором минимум — −9, максимум — −2, поэтому −2 − (−9) = 7. В третьем крайние значения — −5 и 7, размах равен 12. В четвёртом все числа одинаковы, размах равен 0. В пятом ряду один элемент, размах также равен 0.
Если ответы не совпали, проверьте решение в два прохода. Сначала отдельно назовите минимум и максимум. Затем подставьте их в запись «максимум − минимум». Такой разбор помогает заметить, на каком шаге возникла ошибка. Для домашней работы полезен и приём из статьи «Считает вслух — находит ошибку сам: приём для домашки по математике»: проговорите, почему выбранные числа действительно крайние.
Где размах пригодится вне задания
Размах помогает быстро сравнить, насколько далеко друг от друга оказались крайние значения. Допустим, на семейной прогулке записали пройденное расстояние за четыре дня: 3, 5, 4 и 8 километров. Размах равен 8 − 3 = 5 километров. Это не означает, что каждый день проходили на пять километров больше или меньше: число описывает только разницу между самым длинным и самым коротким маршрутом.
Можно взять и время простой домашней игры: за три раунда на сбор предметов ушло 6, 4 и 9 минут. Размах равен 9 − 4 = 5 минут. Если интересно замечать числа в обычных делах, посмотрите идеи в статье «Пятнадцать раз в день — и всё математика, которую никто не замечает». Для вычисления размаха достаточно записать несколько значений одного и того же показателя и найти крайние.
Частые вопросы
Нужно ли обязательно записывать числа по возрастанию?
Нет. Сортировка помогает увидеть минимум и максимум, но на ответ не влияет. В коротком ряду можно просто обвести самое маленькое и самое большое числа.
Как проверить ответ без повторного вычисления?
Убедитесь, что ни одно число ряда не меньше выбранного минимума и не больше выбранного максимума. Затем проверьте вычитание. Если в ряду нет отличающихся значений, ответ должен быть нулём.
Может ли размах быть отрицательным?
Нет. Максимум не меньше минимума, поэтому разность «максимум − минимум» равна нулю или положительна. Отрицательный ответ указывает на ошибку в порядке вычитания или в знаках.
Что делать, если два числа одинаково большие?
Оба являются максимальными значениями, но для вычисления достаточно взять одно из них. Например, у ряда 2, 9, 9, 4 максимум равен 9, минимум — 2, размах — 7.