Если известно, сколько составляет дробная часть числа, сначала найдите одну долю: разделите известное значение на числитель дроби. Затем умножьте результат на знаменатель — столько равных долей было в целом. Например, если 3/5 числа равны 18, одна пятая равна 18 : 3 = 6, а всё число равно 6 · 5 = 30.
Этот способ нужен именно в обратной задаче. Фраза «найдите 3/5 от 30» уже даёт целое; фраза «3/5 числа равны 18, найдите число» просит восстановить целое. Перед вычислениями полезно назвать эти две величины: 18 — известная часть, искомое число — целое.
Как увидеть целое за дробью
У дроби 3/5 знаменатель 5 говорит, что целое разделено на пять равных долей. Числитель 3 говорит, что известное значение приходится на три такие доли. Поэтому схема выглядит так:
`[?] [?] [?] [?] [?]`
Первые три клетки вместе равны 18. Каждая клетка имеет одинаковое значение: 18 : 3 = 6. Все пять клеток вместе дают 6 · 5 = 30. Схема не обязана быть аккуратным рисунком в масштабе: важно, чтобы количество равных частей совпадало со знаменателем, а известная часть занимала столько клеток, сколько указывает числитель.
Когда в условии есть предметы или единицы измерения, подпишите их сразу. «Три пятых пути составляют 18 км» означает, что три клетки вместе равны 18 км. Одна клетка — 6 км, весь путь — 30 км. Если написать просто «30», легко забыть, что спрашивали длину, а не количество участков.
При дроби 1/5 промежуточное деление особенно простое: известное значение уже равно одной доле. Например, если 1/5 ленты — 7 см, вся лента состоит из пяти таких частей и имеет длину 7 · 5 = 35 см. Это тот же способ, только делить на числитель 1 не требуется.
Решите задачу по четырём шагам
Возьмём условие: за день прочитали 4/7 книги, это 28 страниц. Сколько страниц в книге?
- Назовите целое. Это вся книга, а не прочитанная часть. Искомое число страниц обозначим знаком вопроса.
- Разбейте целое на доли. Знаменатель 7 означает семь равных частей. Известные 28 страниц приходятся на четыре части.
- Найдите одну долю. 28 : 4 = 7 страниц.
- Восстановите целое. 7 · 7 = 49 страниц. Ответ: в книге 49 страниц.
Здесь слово «прочитали» само по себе не подсказывает действие. Оно сообщает, какая часть известна. Выбор между умножением и делением определяется вопросом: нам нужно получить всю книгу из её части. Сначала делим 28 на количество известных долей, потом умножаем на количество всех долей.
Если удобно записывать решение одной строкой, используйте 28 : 4 · 7 = 49. Читайте её слева направо: «28 страниц в четырёх долях; в одной доле — в четыре раза меньше; в семи долях — в семь раз больше». Такой перевод записи в слова помогает заметить случайную перестановку числителя и знаменателя. При проверке домашних вычислений полезен приём из статьи «Считает вслух — находит ошибку сам: приём для домашки по математике».
Проверьте ответ обратной задачей
Проверка состоит в том, чтобы снова найти данную в условии часть, но уже от полученного целого. Для книги в 49 страницах одна седьмая равна 49 : 7 = 7 страниц. Четыре седьмых равны 7 · 4 = 28 страницам. Это совпало с условием.
Запишите проверку отдельно, если в задаче много чисел:
49 : 7 · 4 = 28.
Такая проверка ловит типичную ошибку, когда ученик делит на знаменатель и умножает на числитель: 28 : 7 · 4 = 16. Полученное 16 меньше известной части 28, хотя вся книга должна быть больше прочитанных 4/7. Даже без точного счёта видно, что ответ не подходит.
Есть и быстрая оценка. Если известная дробь меньше единицы, а величины положительные, искомое целое должно быть больше известной части. Для 4/7 и 28 страниц ответ 49 проходит эту проверку. Но одной оценки недостаточно: 42 тоже больше 28, однако четыре седьмых от 42 равны 24. Точное совпадение даёт только обратное вычисление.
Разберите задачи с разными единицами
Длина. Отрезали 2/3 ленты, и отрезанная часть составила 24 см. Какова длина всей ленты? Две доли равны 24 см, одна доля равна 24 : 2 = 12 см. Три доли равны 12 · 3 = 36 см. Проверка: 36 : 3 · 2 = 24 см. Ответ: 36 см.
Деньги. На покупку потратили 5/8 суммы, то есть 250 рублей. Сколько денег было сначала? Одна восьмая равна 250 : 5 = 50 рублей. Восемь восьмых равны 50 · 8 = 400 рублей. Проверка: 400 : 8 · 5 = 250 рублей. Ответ: 400 рублей.
Количество предметов. В коробку положили 3/4 всех карандашей, это 21 карандаш. Сколько карандашей всего? Одна четверть равна 21 : 3 = 7 карандашам. Все четыре четверти — 7 · 4 = 28 карандашей. Ответ: 28 карандашей. Здесь результат обязательно целый: половины карандаша в условии нет, и вычисление этому соответствует.
Время. На один этап ушло 2/5 всего времени, или 14 минут. Сколько длилась вся работа? Одна пятая равна 14 : 2 = 7 минутам. Полное время — 7 · 5 = 35 минут. Проверка: 35 : 5 · 2 = 14 минут.
Во всех четырёх задачах меняется история, но не связь чисел. Слова «лента», «рубли», «карандаши» и «минуты» помогают правильно записать ответ и проверить, что мы ищем именно исходное целое. Потренировать замечание таких связей в обычных делах можно с примерами из статьи «Пятнадцать раз в день — и всё математика, которую никто не замечает».
Если известна оставшаяся часть
Иногда условие сообщает не использованную, а оставшуюся долю. Например: «После продажи осталось 2/5 всех яблок — 16 кг. Сколько килограммов было сначала?» Здесь 16 кг уже соответствует двум пятым целого. Не нужно сначала вычитать 2/5 из единицы: задача прямо называет долю оставшегося количества. Одна пятая равна 16 : 2 = 8 кг, всё количество — 8 · 5 = 40 кг.
А теперь другое условие: «Продали 2/5 всех яблок, после продажи осталось 18 кг. Сколько было сначала?» Число 18 относится не к двум пятым, а к тому, что осталось. Оставшаяся доля равна 1 — 2/5 = 3/5. Значит, три доли равны 18 кг, одна доля — 18 : 3 = 6 кг, все пять долей — 6 · 5 = 30 кг.
Перед счётом задайте себе короткий вопрос: «К какой именно доле относится данное число?» Подчеркните в тексте пару «2/5 — продали» или «3/5 — осталось». Тогда операция будет опираться на условие, а не на первое встретившееся числительное.
Что делать с дробным значением одной доли
Одна доля не всегда выражается целым числом. Если 3/4 пути составляют 7,5 км, то четверть пути равна 7,5 : 3 = 2,5 км. Весь путь равен 2,5 · 4 = 10 км. Проверка: 10 : 4 · 3 = 7,5 км.
Не округляйте промежуточный результат только ради «красивого» ответа. При измерении длины, времени или массы часть может быть дробной. Если в задаче о целых предметах получается нецелое число предметов, сначала проверьте, верно ли найдена доля, к которой относится известное количество, и не перепутаны ли числитель со знаменателем.
Можно записать правило в виде выражения: если a/b числа равно c, то искомое число равно c : a · b. Но выражение полезно только вместе со смыслом. c : a находит одну из b равных долей; умножение на b собирает целое.
Частые вопросы
Почему сначала делят на числитель, а не на знаменатель?
Потому что известное число соответствует числителю долей. Если 3/5 числа равны 18, то 18 занимает три равные доли. Деление 18 : 3 находит одну долю. Знаменатель 5 нужен затем, чтобы собрать все пять долей.
Можно ли сразу разделить известную часть на дробь?
Да. Запись 18 : (3/5) = 30 даёт тот же результат. Для текстовой задачи способ «разделить на 3, умножить на 5» обычно проще проверить по схеме долей и не перепутать с нахождением дроби от числа.
Что написать в ответе, если искали не число, а величину?
Верните единицу из условия. Если известная часть дана в сантиметрах, ответ будет в сантиметрах; если в рублях — в рублях. При переходе между единицами сначала приведите известные значения к одной единице, а затем вычисляйте.
Как понять, что ответ ошибочен без полной проверки?
Если дана положительная часть меньше целого, целое должно быть больше этой части. Это помогает быстро заметить невозможный ответ. Для окончательной проверки найдите указанную дробь от своего результата и сравните её с числом из условия.