Одно число может принадлежать сразу нескольким числовым множествам. Чтобы перечислить их, определите, является ли число натуральным, целым, рациональным или только действительным среди предложенных вариантов.
Разберём два числа, а затем проверим себя на шести заданиях. Во всех задачах используем договорённость: N = 1, 2, 3, …, то есть ноль в множество N здесь не входит.
Какие множества нужно указать
В заданиях встречаются четыре обозначения:
- N — натуральные числа: 1, 2, 3 и далее.
- Z — целые числа, включая отрицательные целые, ноль и положительные целые.
- Q — рациональные числа: их можно представить дробью из двух целых чисел с ненулевым знаменателем.
- R — действительные числа; среди них есть рациональные и иррациональные.
При выбранной договорённости множества вложены друг в друга: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Знак ⊂ здесь означает, что каждое число множества слева входит и в множество справа. Конечные десятичные дроби рациональны, а √2 и π — иррациональные действительные числа. Эти свойства описаны в учебнике OpenStax.
Поэтому недостаточно найти только самое узкое подходящее множество. Если число входит, например, в Z, нужно указать также Q и R.
Разбор 1. Отрицательное число
Укажите все множества из N, Z, Q, R, которым принадлежит число -3.
Число -3 — целое, поэтому оно принадлежит Z. Его можно представить как дробь -3/1, значит, оно рациональное и принадлежит Q. Любое рациональное число относится к R. В N число -3 не входит: в нашей записи натуральный ряд начинается с 1.
Ответ: Z, Q, R.
Разбор 2. Ноль
Укажите все множества из N, Z, Q, R, которым принадлежит число 0.
Ноль — целое число, значит, принадлежит Z. Запись 0/1 показывает, что он рационален; следовательно, он входит и в Q, и в R. В N по принятой для этих задач договорённости ноль не входит.
Ответ: Z, Q, R.
Как не пропустить множество
Частая ошибка — указать только одно название, например Z для целого числа. Но вопрос просит все подходящие множества. После первого ответа пройдите по цепочке включений вправо и добавьте каждое следующее множество.
Для корня сначала проверьте, можно ли его точно вычислить. Для десятичной дроби удобно записать обыкновенную дробь, а затем сократить её. Если число иррационально, в Q оно не входит; среди обозначений в этих задачах для него остаётся R.
Шесть задач для самостоятельной работы
В каждом пункте укажите все множества из N, Z, Q, R, которым принадлежит данное число. Как и в разборах, N = 1, 2, 3, …; Z — целые, Q — рациональные, R — действительные числа.
- 7.
- 1/4.
- 0.125.
- √2.
- √9.
- π.
Запишите для каждого числа не только первое найденное множество, но и все остальные подходящие. Затем откройте ключ и сравните свои обозначения с ответом целиком.
Ответы и проверка
1. Число 7: N, Z, Q, R. Это натуральное число. По цепочке включений оно также целое, рациональное и действительное.
2. Число 1/4: Q, R. Это рациональная дробь, но не целое число. Поэтому она не принадлежит Z и N; при этом она действительная.
3. Число 0.125: Q, R. Конечную десятичную дробь можно записать как 125/1000 и сократить до 1/8. Она рациональна и действительна, но не является целым или натуральным числом.
4. Число √2: R. Это иррациональное действительное число. Оно не входит в Q, а значит, не входит и в Z или N.
5. Число √9: N, Z, Q, R. Сначала вычисляем корень: √9 = 3. Число 3 натуральное, поэтому принадлежит и всем трём следующим множествам в цепочке.
6. Число π: R. Это иррациональное действительное число. Среди четырёх предложенных обозначений ему подходит только R.
При сверке обратите внимание не только на лишние буквы, но и на пропущенные. Например, запись одного N в пятом пункте не содержит полного ответа: вопрос требует перечислить и более широкие множества.
Если ребёнку сложно понять, что именно требуется перечислить в условии, прочитайте статью «Ребёнок не понимает условие задачи: как помочь разобраться».