В выражении сначала вычисляют содержимое скобок, затем степени, после этого выполняют умножение и деление, а в конце — сложение и вычитание. Действия одного приоритета идут слева направо: деление не нужно откладывать только потому, что дальше стоит умножение.
Потренироваться можно на четырёх разборах и восьми самостоятельных выражениях ниже. Точка обозначает умножение, двоеточие — деление; верхний показатель обозначает степень. Все результаты в подборке — натуральные числа, единицы измерения здесь не используются.
В каком порядке вычислять скобки, степени и остальные действия
Ориентируйтесь на такой порядок:
- Найдите значение выражения в скобках, соблюдая порядок действий внутри них.
- Вычислите степени.
- Выполните умножение и деление слева направо.
- Выполните сложение и вычитание слева направо.
Этот порядок описан в учебнике OpenStax. Чтобы не потерять действие, после каждого шага полезно переписать всё выражение, заменив только вычисленную часть её значением. Так видно, какие числа ещё нужно использовать и какие знаки между ними остались.
Если в строке рядом стоят умножение и деление, у них одинаковый приоритет. То же относится к сложению и вычитанию. Выбор между действиями одной пары зависит от их положения: первым выполняют то, которое записано левее.
Четыре разбора: от деления до степени
1. Деление и умножение подряд
Вычислите 48 : 6 · 2.
Скобок и степеней нет. Деление стоит левее умножения, поэтому начинаем с него:
48 : 6 · 2 = 8 · 2 = 16.
Не нужно сначала перемножать два числа справа: это изменило бы заданный порядок действий. Запись показывает, что результат деления становится первым множителем.
2. Произведение внутри скобок
Вычислите 54 : (3 · 3).
Сначала находим значение в скобках, затем делим:
54 : (3 · 3) = 54 : 9 = 6.
Скобки здесь объединяют множители в делитель. Пока их содержимое не вычислено, нельзя считать, что деление относится только к первому числу внутри скобок.
3. Сумма в скобках перед умножением
Вычислите 72 − 6 · (4 + 5).
Сначала складываем числа в скобках. Полученную сумму умножаем на 6, а затем вычитаем произведение:
72 − 6 · (4 + 5) = 72 − 6 · 9 = 72 − 54 = 18.
Распространённая ошибка — начать с вычитания слева. Оно стоит вне скобок и выполняется после умножения.
4. Квадрат суммы перед делением
Вычислите (7 + 5)² : 9.
Сначала находим сумму в скобках, затем возводим её в квадрат и делим результат:
(7 + 5)² : 9 = 12² : 9 = 144 : 9 = 16.
Показатель относится ко всей сумме в скобках. Поэтому сначала получаем одно число и только потом умножаем его само на себя.
Восемь выражений для самостоятельного вычисления
Запишите промежуточные строки так, чтобы в каждой было видно оставшееся выражение. Если готовы выполнять несколько независимых действий в одной строке, всё равно сохраните оба их результата и знаки между ними.
- Вычислите 100 − 40 : 5 · 3.
- Вычислите 96 : (8 − 2) + 7 · 3.
- Вычислите (18 + 12) : 5 · 4.
- Вычислите 8 + 36 : 6 · 2.
- Вычислите 81 : (2 + 7) + 5².
- Вычислите 6 · (15 − 7) − 12.
- Вычислите (44 − 20) : 3 + 2³.
- Вычислите 90 − 3 · (8 + 7) + 12 : 4.
В первом, третьем и четвёртом выражениях деление и умножение стоят рядом: проследите их слева направо. В пятом и седьмом есть степень, а в восьмом после скобок остаются и умножение, и деление, и действия сложения с вычитанием.
При переписывании не переносите число через знак действия. Если вычислили только часть выражения, остальные числа должны остаться на своих местах. Для степени также сохраняйте показатель до того шага, на котором вычисляете её значение.
Ответы с промежуточными строками
- 76.
100 − 40 : 5 · 3 = 100 − 8 · 3 = 100 − 24 = 76. Деление выполнено раньше умножения, поскольку стоит левее.
- 37.
96 : (8 − 2) + 7 · 3 = 96 : 6 + 7 · 3 = 16 + 7 · 3 = 16 + 21 = 37. Сначала вычислена разность в скобках, затем деление и умножение.
- 24.
(18 + 12) : 5 · 4 = 30 : 5 · 4 = 6 · 4 = 24. После скобок действия одного приоритета выполнены слева направо.
- 20.
8 + 36 : 6 · 2 = 8 + 6 · 2 = 8 + 12 = 20. Сложение остаётся на последнем шаге.
- 34.
81 : (2 + 7) + 5² = 81 : 9 + 25 = 9 + 25 = 34. Сумма в скобках и степень вычислены до деления и сложения.
- 36.
6 · (15 − 7) − 12 = 6 · 8 − 12 = 48 − 12 = 36. Вычитание вне скобок выполнено после умножения.
- 16.
(44 − 20) : 3 + 2³ = 24 : 3 + 8 = 8 + 8 = 16. Куб числа 2 равен 8; его значение подставлено до сложения.
- 48.
90 − 3 · (8 + 7) + 12 : 4 = 90 − 3 · 15 + 12 : 4 = 90 − 45 + 3 = 45 + 3 = 48. После умножения и деления вычитание и сложение выполнены слева направо.
Если итог не совпал, сравните строки по порядку, а не исправляйте только последнее число. Проверьте, не исчез ли знак между оставшимися частями выражения и не было ли действие одного приоритета выполнено справа налево.
Следующий шаг после этих целочисленных примеров — «Обыкновенные и десятичные дроби в одном выражении: порядок решения».