Если при делении цифры после запятой продолжаются без конца, но одна и та же группа цифр повторяется, получается бесконечная периодическая десятичная дробь. Например, 1:3=0,3333…, поэтому её записывают короче: 0,(3). Цифра в скобках — период.
Повтор может начаться не сразу. У дроби 1:6=0,1666… цифра 1 после запятой встречается один раз, а затем бесконечно повторяется 6. Запись 0,1(6) показывает обе части: предпериод 1 и период 6. Чтобы найти их при делении столбиком, следите прежде всего за остатками.
Почему остаток выдаёт повтор
При делении 1:3 целая часть равна нулю. Дописываем к остатку 1 ноль, получаем 10: делим на 3, записываем цифру 3 и остаток 1. Следующий шаг снова начинается с остатка 1. Значит, дальше будут повторяться те же действия и та же цифра 3.
Так происходит с любым повторившимся остатком. Очередная цифра частного зависит от остатка и делителя. Если оба уже встречались вместе, дальнейшие шаги пойдут по тому же кругу. Нулевой остаток означает другое: деление закончилось, и десятичная дробь конечная.
Посмотрим на 1:7. Остатки перед получением очередной цифры идут так: 1, 3, 2, 6, 4, 5, затем снова 1. Соответствующие цифры — 1, 4, 2, 8, 5, 7. Поэтому 1:7=0,(142857). Здесь повторяется вся группа из шести цифр, а не только последняя 7.
Как отделить предпериод от периода
Удобно записывать рядом две строки: цифры частного и остатки. Запишите также начальный остаток после выделения целой части, до получения первой цифры после запятой; затем записывайте остаток после каждого шага. Когда остаток повторится, найдите место, где он появился впервые. Цифры, полученные между двумя появлениями этого остатка, образуют период. Всё, что стоит после запятой до них, — предпериод.
Для 1:6 первый шаг даёт цифру 1 и остаток 4. Следующий — цифру 6 и опять остаток 4. Раз повторился остаток 4, будет повторяться цифра 6. Получается 0,1(6): единица возникла до входа в круг.
Возьмём 1:12. Последовательные шаги дают цифру 0 с остатком 10, затем цифру 8 с остатком 4, затем цифру 3 с остатком 4. Значит, 1:12=0,08(3). Ноль перед восьмёркой нельзя опустить: 0,8(3) — совсем другое число, большее в десять раз.
У числа 2:11=0,(18) предпериода нет. Целая часть 0 не считается предпериодом; это название относится только к цифрам после запятой, которые стоят перед началом повторения.
Почему в скобки берут самый короткий повтор
Число 0,3333… можно описать словами «повторяется 33», но обычная запись — 0,(3). Период выбирают минимальный: группа должна воспроизводить всю бесконечную запись, и более короткой подходящей группы быть не должно.
Для 0,121212… минимальный период — 12, а не 1212. Для 0,123123123… — 123. Если начало записи выглядит как 0,121213121213…, нельзя объявлять периодом 12, увидев первые четыре цифры: следующие цифры разрушат такой повтор.
При делении столбиком правило с остатками даёт надёжную границу периода. Когда остаток вернулся, можно остановиться: дальнейшие цифры уже определены. Если же дана только короткая строка цифр с многоточием, например 0,1212…, без пояснения повтор обычно предполагают, но сама по себе такая запись не показывает, что происходило бы после выписанных цифр. Скобки снимают неясность: 0,(12).
Когда дробь конечная, а когда периодическая
Сначала сократите обыкновенную дробь. Если в её знаменателе после сокращения остались только множители 2 и 5, десятичная запись закончится. Например, 3/40=0,075, потому что 40=2³·5.
Если в сокращённом знаменателе есть другой простой множитель, десятичная запись будет бесконечной периодической. Так, 1/3=0,(3), а 1/6=0,1(6): в числе 6=2·3 множитель 2 даёт участок до повторения, а 3 не позволяет записи закончиться.
Это правило помогает заранее понять вид ответа, но не заменяет деление, когда нужны сами цифры периода. Например, знаменатель 7 подсказывает, что 1/7 не станет конечной десятичной дробью. Чтобы получить 0,(142857), цифры всё равно нужно вычислить.
Не применяйте правило к несокращённому знаменателю. У дроби 3/6 в знаменателе есть 3, однако после сокращения выходит 1/2=0,5. Вид десятичной записи определяет сокращённая дробь.
Как читать и сравнивать записи со скобками
Запись 0,2(7) означает 0,27777…. Двойка стоит перед периодом и появляется только один раз. Запись 0,(27) означает 0,272727…: здесь двузначная группа повторяется с первой цифры после запятой.
Чтобы сравнить такие числа, выпишите несколько начальных цифр, раскрывая скобки мысленно. Например, 0,2(7)=0,27777…, а 0,(27)=0,272727…. Первые две цифры после запятой совпали — 2 и 7; третьи различаются: 7 больше 2. Поэтому 0,2(7)>0,(27).
При переписывании ответа держите в поле зрения три места: запятую, предпериод и скобки. Ошибка в любом из них меняет число. Если ребёнку трудно заметить её в длинной строке, полезен приём из материала «Считает вслух — находит ошибку сам: приём для домашки по математике»: проговорить, какая цифра не повторяется и какая группа повторяется.
Как вернуть периодическую запись в обыкновенную дробь
Такую проверку удобно делать алгебраически. Пусть x=0,(27)=0,272727…. Умножим на 100, чтобы сдвинуть запятую на длину периода: 100x=27,272727…. Вычитаем исходное равенство: 99x=27. Значит, x=27/99=3/11.
При наличии предпериода нужны два сдвига. Пусть x=0,1(6)=0,1666…. Тогда 10x=1,6666…, а 100x=16,6666…. Вычитая первое равенство из второго, получаем 90x=15, откуда x=1/6. Бесконечные повторяющиеся части исчезли, потому что после запятой они одинаковы.
Здесь легко ошибиться, если сдвинуть запятую только на длину периода. Для 0,1(6) нужно учесть и одну цифру предпериода: поэтому берутся 10x и 100x, а не x и 10x. Полученная обыкновенная дробь служит проверкой: разделите её числитель на знаменатель и убедитесь, что повтор начинается в том же месте.
Три короткие проверки без угадывания
Разделите 5 на 11. Получится 0,454545…, то есть 0,(45). Проверка через дробь: 45/99=5/11. Группа 45 уже минимальна, потому что цифры 4 и 5 чередуются.
Разделите 7 на 30. Сначала получается 2 десятых и остаток 10; затем цифра 3 и снова остаток 10. Ответ — 0,2(3). Запись 0,(23) неверна: она означала бы 0,232323…, тогда как 7/30=0,23333….
Наконец, 3/8=0,375. Здесь остаток становится нулём. Скобки не нужны, даже если кому-то кажется, что после последней цифры «дальше идут нули»: для конечной записи используют 0,375, а не периодическую форму.
Периодические дроби полезно узнавать и за пределами примеров столбиком: деление порции, цены или длины иногда даёт число, которое приходится записать приближённо. О том, где в повседневных действиях возникают сами вычисления, рассказывает «Пятнадцать раз в день — и всё математика, которую никто не замечает». В учебной задаче, если нужен точный ответ, скобки или обыкновенная дробь сохраняют его без округления.
Частые вопросы
Можно ли поставить скобки вокруг нескольких одинаковых периодов?
Число 0,(1212) равно 0,(12), но период принято записывать минимальным. Поэтому для повторения 121212… выбирайте 0,(12).
Бывает ли период из одного нуля?
У конечной дроби вроде 0,5 после последней значащей цифры можно мысленно продолжить запись нулями. В обычных заданиях её считают конечной и пишут 0,5, без периода (0).
Как записать число с целой частью?
Целую часть оставьте перед запятой: 2,1666…=2,1(6). Период и предпериод определяются так же, как у числа меньше единицы.
Что делать, если в ответе получилось слишком много цифр?
Проверьте остатки, а не ищите повтор только глазами в цифрах. Как только прежний остаток появился снова, граница периода найдена; продолжать деление для записи ответа не требуется.