Чтобы найти вероятность ровно k орлов за n бросков честной монеты, посчитайте все возможные последовательности результатов и те, в которых орёл встречается ровно k раз. Затем разделите второе число на первое. Слово «ровно» важно: последовательности с большим или меньшим числом орлов не подходят.
В этих задачах броски независимы, а орёл и решка равновероятны. Речь идёт о вероятности события при заданной модели, а не о предсказании результата следующего броска. Ниже сначала разобраны три случая, затем даны восемь задач для самостоятельной работы.
Почему всего последовательностей 2ⁿ
У каждого броска два возможных результата: орёл или решка. За два броска получаются четыре последовательности: ОО, ОР, РО, РР. Порядок учитывается: ОР и РО — разные исходы, хотя в обоих случаях орёл выпал один раз.
При каждом новом броске число последовательностей удваивается. Поэтому за n бросков их 2ⁿ, где n — число бросков. Например, для трёх бросков можно сначала выбрать результат первого броска, затем второго и третьего; каждому выбору на очередном шаге соответствуют два продолжения.
Для равновероятных исходов вероятность равна числу подходящих исходов, делённому на число всех исходов. Такое определение дано в открытом учебнике OpenStax. Условия независимости бросков и одинаковой вероятности орла в каждом из них соответствуют описанию повторных испытаний в разделе того же учебника.
Как посчитать последовательности с нужным числом орлов
Нужно выбрать, на каких местах среди n бросков стоят k орлов; остальные места займут решки. Число таких выборов обозначают C(n, k). Тогда правило для задач статьи записывается так:
P(ровно k орлов) = C(n, k) / 2ⁿ.
Здесь P — вероятность, n — число бросков, k — требуемое число орлов, C(n, k) — число способов выбрать для них места. Для небольшого n это число можно найти без формулы: перечислить места или последовательности и проверить, не пропущена ли какая-нибудь.
Есть две полезные границы для самопроверки. Если нужен ноль орлов, подходит только последовательность из решек. Если нужны орлы во всех бросках, тоже подходит только одна последовательность — из орлов. А для промежуточного числа орлов вариантов обычно больше одного, потому что орлы могут стоять в разных местах.
Не путайте «ровно один орёл» с «орёл хотя бы один раз». Во втором событии подходят также последовательности с двумя, тремя и большим числом орлов, если бросков достаточно. Здесь рассматривается только точное число, указанное в условии.
Три разобранные задачи
Пример 1. Ни одного орла за два броска
Условие. Честную монету бросают 2 раза. Броски независимы, орёл и решка равновероятны. Какова вероятность того, что орёл выпадет ровно 0 раз?
Всего последовательностей 2² = 4: ОО, ОР, РО и РР. Требование «ровно 0 орлов» выполняется только для РР. Подходящий исход один, поэтому вероятность равна 1/4 = 0,25.
Заметьте, что РР учитывается один раз: перестановка двух одинаковых решек не создаёт новой последовательности.
Пример 2. Один орёл за два броска
Условие. Честную монету бросают 2 раза. Броски независимы, орёл и решка равновероятны. Какова вероятность того, что орёл выпадет ровно 1 раз?
Из четырёх последовательностей подходят ОР и РО. Их две, значит, вероятность равна 2/4 = 0,5. Здесь C(2, 1) = 2: орёл может оказаться на первом или втором месте.
Если записать только ОР, получится 1/4 вместо 2/4. Ошибка возникает потому, что одинаковое число орлов принимают за один исход и забывают о порядке бросков.
Пример 3. Ни одного орла за три броска
Условие. Честную монету бросают 3 раза. Броски независимы, орёл и решка равновероятны. Какова вероятность того, что орёл выпадет ровно 0 раз?
Всего последовательностей 2³ = 8. Для нуля орлов все три результата должны быть решками, то есть подходит только РРР. Вероятность равна 1/8.
При добавлении третьего броска число всех исходов выросло с четырёх до восьми, но последовательность без орлов по-прежнему одна. Поэтому ответы в первом и третьем примерах различаются.
Восемь задач для самостоятельного решения
В каждой задаче монета честная, броски независимы, орёл и решка равновероятны. Найдите вероятность ровно указанного числа орлов. В решении запишите число всех последовательностей и число подходящих.
- Монету бросают 3 раза. Какова вероятность ровно 1 орла?
- Монету бросают 3 раза. Какова вероятность ровно 2 орлов?
- Монету бросают 4 раза. Какова вероятность ровно 0 орлов?
- Монету бросают 4 раза. Какова вероятность ровно 1 орла?
- Монету бросают 4 раза. Какова вероятность ровно 2 орлов?
- Монету бросают 4 раза. Какова вероятность ровно 3 орлов?
- Монету бросают 5 раз. Какова вероятность ровно 2 орлов?
- Монету бросают 5 раз. Какова вероятность ровно 3 орлов?
Если трудно начать, отделите в условии число бросков от числа нужных орлов. О том, как помочь ребёнку выделять данные и вопрос, рассказывает статья «Ребёнок не понимает условие задачи: как помочь разобраться». Здесь после такого разбора нужно определить места для орлов и число всех последовательностей.
Ответы с вычислениями
- Всего 2³ = 8 последовательностей. Для одного орла есть C(3, 1) = 3 варианта его места. Ответ: 3/8.
- Всего 2³ = 8 последовательностей. Для двух орлов выбираем два места из трёх: C(3, 2) = 3. Ответ: 3/8.
- Всего 2⁴ = 16 последовательностей. Без орлов подходит только последовательность из решек: C(4, 0) = 1. Ответ: 1/16.
- Всего 2⁴ = 16 последовательностей. Один орёл может стоять на любом из четырёх мест: C(4, 1) = 4. Вероятность 4/16 = 0,25.
- Всего 2⁴ = 16 последовательностей. Для двух орлов есть C(4, 2) = 6 наборов мест. Вероятность 6/16 = 3/8.
- Всего 2⁴ = 16 последовательностей. Три места для орлов можно выбрать C(4, 3) = 4 способами. Вероятность 4/16 = 0,25.
- Всего 2⁵ = 32 последовательности. Для двух орлов есть C(5, 2) = 10 наборов мест. Вероятность 10/32 = 5/16.
- Всего 2⁵ = 32 последовательности. Для трёх орлов есть C(5, 3) = 10 наборов мест. Вероятность 10/32 = 5/16.
Как проверить подсчёт и найти ошибку
В задачах с одинаковым числом бросков ответы для k орлов и для n − k орлов совпадают. Каждой последовательности можно сопоставить другую, заменив в ней все орлы решками, а все решки орлами. Поэтому результаты для одного и двух орлов за три броска равны; то же видно для одного и трёх орлов за четыре броска. Это проверка подсчёта, а не новое условие задачи.
Другая проверка — следить за знаменателем. Для трёх бросков он равен 8, для четырёх — 16, для пяти — 32. Он не меняется от того, сколько орлов требуется: меняется только число подходящих последовательностей. Если в ответе число подходящих исходов больше общего числа исходов, часть последовательностей посчитана дважды.
При перечислении сначала запишите места орлов, а затем восстановите остальные результаты как решки. Так легче избежать пропуска и не принять ОРР и РОР за один исход. Если для двух орлов за четыре броска найдено меньше шести вариантов, проверьте сочетания мест по порядку: сначала варианты, где первый орёл стоит на первом месте, затем — на втором и третьем.
Полученная вероятность описывает долю подходящих исходов в модели. Она не говорит, какая сторона окажется сверху при следующем отдельном броске.