При броске двух различимых честных шестигранных кубиков возможны 36 равновероятных пар результатов. Чтобы найти вероятность заданной суммы, посчитайте пары, которые её дают, и разделите их число на 36. Порядок важен: результат «на первом кубике 1, на втором 2» отличается от результата «на первом 2, на втором 1».
В статье разобраны суммы 2, 3 и 4, а затем предложены восемь задач на остальные возможные суммы. Все броски в условиях независимы. Вероятность здесь описывает возможные исходы, а не предсказывает результат следующего броска.
Откуда берутся 36 исходов
У первого кубика шесть возможных результатов — от 1 до 6. При каждом из них второй кубик также может показать любое число от 1 до 6. Значит, всего 6 × 6 = 36 пар.
Будем записывать пару как (a; b), где a — число очков на первом кубике, b — на втором. Например, (1; 4) и (4; 1) дают одну и ту же сумму, но остаются разными исходами. Даже если кубики физически одинаковы, в учебной задаче их можно различить как «первый» и «второй»; именно это прямо сказано в условиях ниже.
Для равновероятных исходов вероятность события равна числу подходящих исходов, делённому на число всех исходов. Это правило приведено в открытом учебнике OpenStax. В наших задачах знаменатель всегда 36, а числитель зависит от требуемой суммы.
Как перечислять пары для заданной суммы
Начните с наименьшего возможного результата первого кубика и найдите число для второго так, чтобы сумма совпала с условием. Затем увеличивайте результат первого кубика на единицу. Записывайте пару, только если оба её числа лежат от 1 до 6.
Такой порядок предотвращает две ошибки. Во-первых, он помогает не пропустить обратную пару, например (2; 5) после (5; 2). Во-вторых, не позволяет включить невозможный результат вроде числа 7 на одной грани. Не нужно считать все числа от 1 до 12 одинаково вероятными: суммы возникают из разного количества пар.
Проверка перед делением проста: для суммы 2 подходит как минимум одна пара, а для суммы 7 — больше пар, потому что её можно получить несколькими сочетаниями результатов. Ни одна сумма не должна иметь больше 36 подходящих пар, ведь столько исходов всего.
Три разобранные задачи на сумму очков
Пример 1. Сумма 2
Условие. Два различимых честных шестигранных кубика бросают независимо. Какова вероятность, что сумма очков равна 2?
Чтобы получить 2, на каждом кубике должно выпасть 1. Подходит только пара (1; 1). Всего исходов 36, поэтому вероятность равна 1/36.
Здесь перестановка не создаёт второй исход: после перестановки единиц пара остаётся той же самой. Записать (1; 1) дважды означало бы посчитать один результат повторно.
Пример 2. Сумма 3
Условие. Два различимых честных шестигранных кубика бросают независимо. Какова вероятность, что сумма очков равна 3?
Подходящие пары: (1; 2) и (2; 1). Других нет: если на первом кубике 3 или больше, для суммы 3 второму потребовалось бы показать 0 или отрицательное число, а таких граней нет.
Подходящих исходов два из 36. Вероятность 2/36 = 1/18. В этом примере обратную пару обязательно считают отдельно, потому что результаты первого и второго кубиков поменялись местами.
Пример 3. Сумма 4
Условие. Два различимых честных шестигранных кубика бросают независимо. Какова вероятность, что сумма очков равна 4?
Перебираем результат первого кубика. Если он равен 1, второй должен показать 3: (1; 3). Если равен 2, второй тоже показывает 2: (2; 2). Если равен 3, второй показывает 1: (3; 1). Других допустимых пар нет.
Получилось три исхода из 36. Вероятность 3/36 = 1/12. Средняя пара при перестановке не меняется, поэтому её считают один раз, а две крайние пары — по отдельности.
Восемь задач для самостоятельного решения
Во всех задачах бросают два различимых честных шестигранных кубика независимо. Найдите вероятность указанной суммы. Прежде чем делить на 36, выпишите все подходящие пары в порядке возрастания результата первого кубика.
- Какова вероятность, что сумма очков равна 5?
- Какова вероятность, что сумма очков равна 6?
- Какова вероятность, что сумма очков равна 7?
- Какова вероятность, что сумма очков равна 8?
- Какова вероятность, что сумма очков равна 9?
- Какова вероятность, что сумма очков равна 10?
- Какова вероятность, что сумма очков равна 11?
- Какова вероятность, что сумма очков равна 12?
Если ученик смешивает «сумму очков» с числом исходов, стоит сначала выделить в условии вопрос и данные. Приём разбора условия описан в статье «Ребёнок не понимает условие задачи: как помочь разобраться». После этого для каждой задачи здесь нужен один и тот же знаменатель — 36.
Ответы с полным перечнем пар
- Для суммы 5 подходят (1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1). Это 4 исхода из 36. Вероятность 4/36 = 1/9.
- Для суммы 6 подходят (1; 5), (2; 4), (3; 3), (4; 2), (5; 1). Это 5 исходов из 36. Ответ: 5/36.
- Для суммы 7 подходят (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1). Это 6 исходов из 36. Вероятность 6/36 = 1/6.
- Для суммы 8 подходят (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Это 5 исходов из 36. Ответ: 5/36.
- Для суммы 9 подходят (3; 6), (4; 5), (5; 4), (6; 3). Это 4 исхода из 36. Вероятность 4/36 = 1/9.
- Для суммы 10 подходят (4; 6), (5; 5), (6; 4). Это 3 исхода из 36. Вероятность 3/36 = 1/12.
- Для суммы 11 подходят (5; 6), (6; 5). Это 2 исхода из 36. Вероятность 2/36 = 1/18.
- Для суммы 12 подходит только (6; 6). Это 1 исход из 36. Ответ: 1/36.
Как проверить перечень, если ответ не совпал
Сначала проверьте каждую пару сложением. В паре (2; 6), например, сумма равна 8; оба числа допустимы для шестигранного кубика. Если сумма верная, но одно число выходит за пределы от 1 до 6, пару всё равно нужно вычеркнуть.
Затем проверьте порядок записи. При фиксированной сумме результат первого кубика возрастает, а второго убывает. Если между соседними парами получился скачок, возможно, вы пропустили вариант. Этот способ особенно полезен в середине ряда сумм, где подходящих пар больше.
Наконец, сравните ответы для сумм, одинаково удалённых от краёв возможного диапазона. Суммы 2 и 12 имеют по одной паре; 3 и 11 — по две; 4 и 10 — по три. Это можно увидеть, заменив в любой паре каждое число a на 7 − a: допустимые результаты останутся допустимыми, а малая сумма превратится в соответствующую большую. Такая симметрия позволяет проверить число пар, но не отменяет их перечисления в решении.
Если вы получили для суммы 7 ответ 1/11, значит, приняли количество возможных сумм за количество равновероятных исходов. Исправление: вернитесь к парам результатов двух кубиков. Их 36, и именно они образуют знаменатель во всех задачах этой статьи.