Наибольший общий делитель, или НОД, — это самое большое число, на которое оба данных числа делятся без остатка. У 18 и 24 общие делители — 1, 2, 3 и 6. Самый большой из них — 6, значит НОД(18, 24) = 6.
Ребёнку проще увидеть смысл на предметах: есть 18 синих и 24 красных фишки. Нужно разложить их в одинаковые наборы так, чтобы в каждом было поровну синих и поровну красных, а фишек не осталось. Самое большое возможное число наборов — 6: в каждом окажется по 3 синих и 4 красных. Эта задача показывает, зачем искать число, которое подходит сразу для двух количеств.
Сначала уточните, что значит «делится без остатка»
Возьмите 18 фишек или нарисуйте 18 точек. Разложите их на 3 равные группы: получится по 6. Остатка нет, поэтому 3 — делитель числа 18. Если попробовать 5 равных групп, разложить все 18 фишек поровну не получится. Значит, 5 не подходит.
Можно обойтись и без фишек, если ребёнок уверенно делит числа. Проверка та же: 18 : 3 = 6 — целое число, а 18 : 5 не даёт целого числа. Для начала выбирайте маленькие числа, чтобы внимание осталось на идее общего делителя, а не ушло целиком на вычисления.
Теперь введите второе число. Число 3 подходит и для 24, потому что 24 : 3 = 8. Поэтому 3 — общий делитель чисел 18 и 24. Слово «общий» здесь важнее слова «наибольший»: сначала надо выяснить, какие числа подходят сразу к обоим исходным числам.
Найдите НОД по спискам
Попросите ребёнка выписать делители каждого числа по порядку. Чтобы не пропускать варианты, можно проверять числа от 1 до самого числа и записывать только те, при делении на которые нет остатка.
- Делители 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
- Делители 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Подчеркните числа, которые встретились в обоих списках: 1, 2, 3, 6. Среди них самое большое — 6. Запишите ответ: НОД(18, 24) = 6.
Теперь проверьте его с ребёнком. 18 : 6 = 3, 24 : 6 = 4; оба результата целые. После этого взгляните на числа больше 6 в первом списке: 9 и 18 отсутствуют среди делителей 24. А числа больше 6 во втором списке — 8, 12 и 24 — отсутствуют среди делителей 18. Значит, большего общего делителя в этих списках нет.
Такая проверка отвечает сразу на две разные части задания. Деление показывает, что 6 действительно общий делитель. Сравнение полных списков показывает, что он наибольший. Если проверить только деление на 6, можно доказать первую часть, но упустить вторую.
Вернитесь к задаче с наборами
Пусть ребёнок представит, что 18 синих и 24 красных фишки нужно раздать поровну нескольким участникам. Каждый участник получает одинаковое число синих фишек и одинаковое число красных. Никому не достаётся лишнего, и ничего не остаётся на столе.
Шесть участников подходят: каждому достанутся 18 : 6 = 3 синие и 24 : 6 = 4 красные фишки. Три участника тоже подходят, но задача спрашивает о наибольшем возможном числе участников. Девять не подходят: синие можно разделить на девять равных частей, а красные — нельзя. Восемь тоже не подходят: красные делятся на восемь, синие — нет.
Здесь особенно хорошо видна разница между «делитель одного числа» и «общий делитель». Спросите: «Почему нельзя выбрать девять, если 18 делится на 9?» Ответ должен упомянуть второе количество: 24 на 9 без остатка не делится. После такого объяснения запись НОД(18, 24) = 6 перестаёт быть просто новым обозначением.
Не обязательно разыгрывать все варианты с настоящими предметами. Достаточно один раз разложить фишки на шесть одинаковых наборов, а остальные варианты проверить делением. Так практический пример остаётся понятным и не превращается в долгую переборку.
Потренируйтесь на другом результате
Когда первый пример разобран, дайте пару 12 и 20. Пусть ребёнок сам запишет делители:
- 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
- 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
Общие числа — 1, 2 и 4. Наибольшее из них — 4, поэтому НОД(12, 20) = 4. Проверка: 12 : 4 = 3 и 20 : 4 = 5. Если ребёнок назвал 2, не говорите сразу, что ответ неверный. Спросите: «Делятся ли оба числа ещё на какое-нибудь число больше двух?» В списках обнаружится 4.
После этого можно предложить пару 8 и 15. У неё только один общий делитель — 1, поэтому НОД(8, 15) = 1. Такой пример нужен, чтобы ребёнок не ждал непременно большого числа в ответе. Наибольший общий делитель выбирают из тех, которые действительно есть, даже если в списке осталась одна единица.
Для самостоятельной проверки попросите ребёнка придумать два числа, у которых общий делитель 2, а затем выяснить, действительно ли 2 будет наибольшим. Например, у 6 и 10 это так: общие делители — 1 и 2. А у 8 и 12 уже нет: оба числа делятся ещё и на 4. Ребёнок увидит, зачем проверять все подходящие варианты.
Как исправлять ошибки в решении
Частая ошибка — выписать кратные вместо делителей. У числа 18 кратные идут так: 18, 36, 54 и дальше. Делители же — числа, на которые делят 18 без остатка. Помогает фраза с пустым местом: «18 разделить на ___». В пустое место подставляют предполагаемый делитель и проверяют результат.
Другая ошибка — назвать самый большой делитель одного числа. Для 18 это 18, для 24 это 24, но ни одно из этих чисел не подходит сразу обоим. Предложите обвести совпадения двух списков одним цветом. Выбирать ответ можно только из обведённых чисел.
Бывает и так, что ребёнок нашёл правильное число, но не может объяснить почему. Вернитесь к двум вопросам: «На 6 делится 18? На 6 делится 24?» Затем спросите: «Есть ли в наших списках общий делитель больше 6?» Короткое устное объяснение закрепит ход решения лучше, чем ещё одна запись ответа.
Если ребёнку трудно понять текст задачи про наборы, отделите условие от вычисления: что есть, что должно быть одинаковым, что требуется узнать. Такой разбор подробно показан в статье «Ребёнок не понимает условие задачи: как помочь разобраться». А если мешает само деление и поиск делителей, вернитесь к базовым действиям из материала «Математика 3 класса: как объяснить ребёнку сложные темы».
Частые вопросы
Нужно ли всегда выписывать все делители?
Для первых примеров полный список удобен: он показывает, почему ответ наибольший. Позже, когда ребёнок увереннее считает, можно искать быстрее. Но ответ всё равно требует двух проверок: выбранное число делит оба исходных числа, а большего общего делителя нет.
Почему единица есть среди общих делителей?
Любое целое положительное число делится на 1 без остатка. Поэтому 1 появится в обоих списках. Если других совпадений нет, она и будет наибольшим общим делителем, как у 8 и 15.
Может ли НОД быть равен одному из данных чисел?
Да. Например, у 6 и 18 НОД равен 6: число 6 делится на 6, и 18 тоже делится на 6. Более крупного общего делителя быть не может, потому что делитель числа 6 не бывает больше самого числа 6.