При заданной сумме произведение двух неотрицательных действительных чисел максимально, когда числа равны. Если же по условию они должны быть целыми, выбирайте допустимые числа как можно ближе к половине суммы.
Разберём оба случая, а затем проверим способ на шести задачах. В ответе важно указать не только произведение, но и числа, на которых оно достигается.
Почему работает этот способ
Обозначим заданную сумму через S, первое число — через x. Тогда второе число равно S − x, а произведение — x(S − x). Его можно записать так:
x(S − x) = S²/4 − (x − S/2)².
Первое слагаемое справа не меняется. Квадрат во втором слагаемом неотрицателен и вычитается, поэтому наибольшее произведение получается при наименьшем допустимом значении этого квадрата. Это связано с максимумом квадратичной функции в вершине; общий подход разобран в учебнике OpenStax.
Для действительных чисел в задачах ниже можно взять x = S/2: квадрат станет нулём. Если требуются целые числа, а половина суммы не целая, её взять нельзя. Тогда подходят ближайшие к ней целые значения: одно меньше половины, другое больше.
Разбор 1. Действительные числа
Условие. Сумма двух неотрицательных действительных чисел равна 10. Найдите наибольшее произведение и числа, на которых оно достигается.
Половина суммы равна 10/2 = 5. Оба числа могут быть равны 5: они неотрицательны и относятся к действительным.
Их произведение равно 5 · 5 = 25. По формуле оно больше быть не может: S²/4 = 100/4 = 25, а вычитаемый квадрат не меньше нуля.
Ответ: числа 5 и 5, наибольшее произведение — 25. Проверка суммы: 5 + 5 = 10.
Разбор 2. Целые числа
Условие. Сумма двух неотрицательных целых чисел равна 15. Найдите наибольшее произведение и числа, на которых оно достигается.
Половина суммы равна 7,5, но это не целое число. Ближайшие к ней целые числа — 7 и 8; вместе они дают нужную сумму.
Их произведение равно 7 · 8 = 56. Для любого другого целого значения первого числа расстояние от 7,5 будет больше, значит, больше будет и вычитаемый квадрат в формуле.
Ответ: числа 7 и 8, наибольшее произведение — 56. Проверка суммы: 7 + 8 = 15.
Как не потерять условие о целых числах
Типичная ошибка — разделить нечётную сумму пополам и оставить два одинаковых дробных числа, хотя условие требует целые. Такое произведение не отвечает задаче: найденная пара недопустима.
Перед ответом проверьте три вещи: числа принадлежат указанному в условии множеству, их сумма совпадает с заданной, а произведение вычислено верно. Если непонятно, какие данные выписать первыми, пригодится статья о том, как помочь ребёнку разобраться в условии задачи.
Шесть задач для самостоятельной работы
В каждой задаче найдите оба числа и их наибольшее произведение.
- Сумма двух неотрицательных действительных чисел равна 12. Найдите наибольшее произведение и числа, на которых оно достигается.
- Сумма двух неотрицательных целых чисел равна 17. Найдите наибольшее произведение и числа, на которых оно достигается.
- Сумма двух неотрицательных действительных чисел равна 20. Найдите наибольшее произведение и числа, на которых оно достигается.
- Сумма двух неотрицательных целых чисел равна 25. Найдите наибольшее произведение и числа, на которых оно достигается.
- Сумма двух неотрицательных действительных чисел равна 18. Найдите наибольшее произведение и числа, на которых оно достигается.
- Сумма двух неотрицательных целых чисел равна 21. Найдите наибольшее произведение и числа, на которых оно достигается.
Ответы и проверка
- Половина суммы — 6. Числа 6 и 6, произведение 36. Проверка: 6 + 6 = 12; 6 · 6 = 36.
- Половина суммы — 8,5. Ближайшие целые числа 8 и 9, произведение 72. Проверка: 8 + 9 = 17; 8 · 9 = 72.
- Половина суммы — 10. Числа 10 и 10, произведение 100. Проверка: 10 + 10 = 20; 10 · 10 = 100.
- Половина суммы — 12,5. Ближайшие целые числа 12 и 13, произведение 156. Проверка: 12 + 13 = 25; 12 · 13 = 156.
- Половина суммы — 9. Числа 9 и 9, произведение 81. Проверка: 9 + 9 = 18; 9 · 9 = 81.
- Половина суммы — 10,5. Ближайшие целые числа 10 и 11, произведение 110. Проверка: 10 + 11 = 21; 10 · 11 = 110.
Во всех ответах числа неотрицательны. Для действительных чисел квадрат в формуле равен нулю; для целых выбранные числа находятся ближе всего к половине суммы. Поэтому проверена не только допустимость пар, но и то, что их произведения наибольшие.