Чтобы доказать делимость суммы, удобно представить каждое слагаемое как произведение делителя на целое число. Чтобы опровергнуть утверждение о делимости произведения, достаточно найти один пример, в котором его условие выполнено, а вывод неверен.
Ниже — два разбора и шесть задач для самостоятельной работы. После них есть отдельный ключ: сверяйте не только ответ, но и то, почему он подходит.
Что означает делимость
Запись «a делится на d» означает, что a можно представить как d·m, где m — целое число. Например, если a делится на 3, то a = 3m. Буквы m и n далее обозначают целые числа; они не обязаны быть одинаковыми.
При сложении можно вынести общий множитель за скобки: d·m + d·n = d·(m + n). Именно это свойство помогает доказать делимость сразу для всех чисел, удовлетворяющих условию. На странице Maths is Fun приведён простой пример самого понятия делимости: 15 делится на 3, потому что 15 : 3 = 5. Доказательства для наших условий разберём ниже самостоятельно.
Контрпример работает иначе: он не описывает все возможные числа, а показывает один случай, в котором утверждение нарушается. Для проверки важно выполнить обе части: убедиться, что условие верно, и отдельно проверить, что вывод неверен.
Разбор 1. Сумма чисел, кратных 3
Задача. Докажите: если целые числа a и b делятся на 3, их сумма делится на 3.
Решение. По условию оба числа делятся на 3, поэтому можно записать a = 3m и b = 3n, где m и n — целые числа. Тогда:
a + b = 3m + 3n = 3(m + n).
Сумма m + n целая. Значит, a + b представлена как 3, умноженное на целое число, то есть делится на 3.
Проверка рассуждения. В решении не выбраны конкретные a и b: использовано только условие их делимости. Поэтому вывод относится ко всем целым числам из условия.
Разбор 2. Произведение, кратное 4
Задача. Верно ли: если произведение целых a·b делится на 4, хотя бы один множитель делится на 4? Если нет, дайте контрпример.
Решение. Утверждение неверно. Возьмём a = 2 и b = 2. Их произведение равно 4 и делится на 4. Но ни один из множителей 2 на 4 не делится.
Проверка рассуждения. Условие про произведение выполнено, а вывод про хотя бы один множитель — нет. Одного такого случая достаточно для опровержения.
Типичная ошибка — проверить несколько подходящих пар и объявить утверждение доказанным. Примеры могут подсказать направление, но не заменяют доказательство для всех допустимых чисел. Для опровержения, напротив, нужен всего один корректный контрпример.
Шесть задач для самостоятельной работы
В задачах на доказательство запишите, что известно о каждом числе, затем преобразуйте сумму. В остальных сначала решите, верно ли утверждение; если нет, проверьте оба множителя выбранной пары.
- Докажите: если целые числа a и b делятся на 5, их сумма делится на 5.
- Верно ли: если произведение целых a·b делится на 6, хотя бы один множитель делится на 6? Если нет, дайте контрпример.
- Докажите: если целые числа a и b делятся на 7, их сумма делится на 7.
- Верно ли: если произведение целых a·b делится на 10, хотя бы один множитель делится на 10? Если нет, дайте контрпример.
- Докажите: если целые числа a и b делятся на 9, их сумма делится на 9.
- Верно ли: если произведение целых a·b делится на 15, хотя бы один множитель делится на 15? Если нет, дайте контрпример.
Ключ с проверкой
1. По условию a = 5m, b = 5n, где m и n — целые. Тогда a + b = 5m + 5n = 5(m + n). Число m + n целое, значит, сумма делится на 5.
2. Неверно. При a = 2 и b = 3 произведение равно 6 и делится на 6. Ни 2, ни 3 на 6 не делится.
3. По условию a = 7m, b = 7n, где m и n — целые. Поэтому a + b = 7m + 7n = 7(m + n). Поскольку m + n целое, сумма делится на 7.
4. Неверно. При a = 2 и b = 5 произведение равно 10 и делится на 10. Ни 2, ни 5 на 10 не делится.
5. По условию a = 9m, b = 9n, где m и n — целые. Тогда a + b = 9m + 9n = 9(m + n). Сумма m + n целая, следовательно, a + b делится на 9.
6. Неверно. При a = 3 и b = 5 произведение равно 15 и делится на 15. При этом ни 3, ни 5 на 15 не делится.
Если трудно определить, что именно нужно доказать или опровергнуть, поможет статья «Ребёнок не понимает условие задачи: как помочь разобраться».