Если известно среднее арифметическое набора и все числа, кроме одного, сначала найдите сумму всего набора: умножьте среднее на количество чисел. Затем вычтите сумму известных чисел. Остаток и будет неизвестным числом.
Здесь важно считать количество всех чисел, включая неизвестное. Среднее относится к полному набору, а не только к той части, которая уже выписана в условии. После нахождения ответа его легко проверить: сложить все числа и снова разделить на их общее количество.
Правило восстановления неизвестного числа
Среднее арифметическое равно сумме чисел, делённой на их количество. Это определение приведено в открытом учебнике OpenStax; задачи ниже составлены для этой статьи.
Если обозначить среднее буквой m, количество чисел — n, а сумму известных чисел — S, получится правило:
неизвестное число = m × n − S.
Умножение m × n возвращает сумму полного набора. Вычитание S убирает из неё все известные элементы. Ничего усреднять повторно на этом шаге не требуется: неизвестное — одно число, а не новое среднее.
Перед подстановкой подпишите данные: «среднее», «всего чисел», «известные числа». Это помогает отличить количество элементов от их значений. Затем сложите известные числа отдельно и только после этого вычитайте их сумму из общей. Такая запись длиннее одного действия, но по ней сразу видно, где искать арифметическую ошибку.
Пример 1. Найдите общую сумму трёх чисел
Условие. Среднее арифметическое 3 чисел равно 20. Известны 2 из них: 18, 19. Найдите оставшееся число.
В наборе три числа, поэтому их общая сумма равна 3 × 20 = 60. Сумма известных чисел равна 18 + 19 = 37. Вычитаем её из общей:
60 − 37 = 23.
Ответ: 23. Проверка возвращает нас к определению среднего: (18 + 19 + 23) / 3 = 60 / 3 = 20. Получилось заданное среднее, значит найденное число подходит.
Пример 2. Не делите сумму известных чисел на их количество
Условие. Среднее арифметическое 4 чисел равно 22. Известны 3 из них: 20, 21, 22. Найдите оставшееся число.
Сумма всех четырёх чисел должна составлять 4 × 22 = 88. Известные числа в сумме дают 20 + 21 + 22 = 63. Значит, оставшееся число:
88 − 63 = 25.
Ответ: 25. Среднее трёх известных чисел здесь искать не нужно: оно не даёт общей суммы четырёх чисел. Для контроля сложим полный набор: 20 + 21 + 22 + 25 = 88, а 88 / 4 = 22.
Пример 3. Количество элементов остаётся прежним
Условие. Среднее арифметическое 5 чисел равно 24. Известны 4 из них: 22, 23, 24, 25. Найдите оставшееся число.
Сначала восстановим сумму пяти чисел: 5 × 24 = 120. Теперь сложим четыре известных: 22 + 23 + 24 + 25 = 94. Разность даёт неизвестное:
120 − 94 = 26.
Ответ: 26. Неизвестный элемент включён в число пяти элементов с самого начала. В проверке их тоже должно быть пять: (22 + 23 + 24 + 25 + 26) / 5 = 120 / 5 = 24.
Как читать условие и проверять решение
Слова «известны три из четырёх» сообщают две разные вещи. Четыре — количество элементов для вычисления общей суммы. Три — количество чисел, которые нужно сложить перед вычитанием. Если перепутать эти числа, ответ может выглядеть правдоподобно, но проверка среднего не сойдётся.
Для самопроверки выполняйте действия в обратном направлении. К найденному числу прибавьте все известные. Получившаяся сумма должна равняться произведению среднего на количество элементов. Затем разделите сумму на количество элементов: должно получиться среднее из условия. Двух проверок достаточно, чтобы заметить как ошибку сложения, так и неверно выбранное количество чисел.
Не пытайтесь угадывать неизвестное по тому, больше оно или меньше среднего. Такое предположение может помочь оценить ответ, но не заменяет расчёта. Даже если несколько известных чисел расположены рядом на числовой прямой, неизвестный элемент определяется их суммой и общей суммой набора, а не внешним видом последовательности.
Если условие задачи трудно перевести в действия, начните с чтения вопроса и выписывания данных. Подробно этот приём разобран в статье «Ребёнок не понимает условие задачи: как помочь разобраться». Здесь после выписки достаточно определить три величины для формулы: среднее, полное количество элементов и сумму известных.
Восемь задач на неизвестный элемент набора
Во всех задачах неизвестно ровно одно число. Найдите сначала сумму полного набора, затем сумму перечисленных чисел и их разность. После решения проверьте среднее обратным делением.
- Среднее арифметическое 6 чисел равно 26. Известны 5 из них: 24, 25, 26, 27, 28. Найдите оставшееся число.
- Среднее арифметическое 3 чисел равно 28. Известны 2 из них: 26, 27. Найдите оставшееся число.
- Среднее арифметическое 4 чисел равно 30. Известны 3 из них: 28, 29, 30. Найдите оставшееся число.
- Среднее арифметическое 5 чисел равно 32. Известны 4 из них: 30, 31, 32, 33. Найдите оставшееся число.
- Среднее арифметическое 6 чисел равно 34. Известны 5 из них: 32, 33, 34, 35, 36. Найдите оставшееся число.
- Среднее арифметическое 3 чисел равно 36. Известны 2 из них: 34, 35. Найдите оставшееся число.
- Среднее арифметическое 4 чисел равно 38. Известны 3 из них: 36, 37, 38. Найдите оставшееся число.
- Среднее арифметическое 5 чисел равно 40. Известны 4 из них: 38, 39, 40, 41. Найдите оставшееся число.
Ответы с вычислениями
- 26. Сумма всех чисел: 6 × 26 = 156. Сумма известных: 24 + 25 + 26 + 27 + 28 = 130. Неизвестное: 156 − 130 = 26. Оно может совпадать со средним и с одним из известных элементов.
- 31. Сумма всех чисел: 3 × 28 = 84. Сумма известных: 26 + 27 = 53. Неизвестное: 84 − 53 = 31.
- 33. Сумма всех чисел: 4 × 30 = 120. Сумма известных: 28 + 29 + 30 = 87. Неизвестное: 120 − 87 = 33.
- 34. Сумма всех чисел: 5 × 32 = 160. Сумма известных: 30 + 31 + 32 + 33 = 126. Неизвестное: 160 − 126 = 34.
- 34. Сумма всех чисел: 6 × 34 = 204. Сумма известных: 32 + 33 + 34 + 35 + 36 = 170. Неизвестное: 204 − 170 = 34.
- 39. Сумма всех чисел: 3 × 36 = 108. Сумма известных: 34 + 35 = 69. Неизвестное: 108 − 69 = 39.
- 41. Сумма всех чисел: 4 × 38 = 152. Сумма известных: 36 + 37 + 38 = 111. Неизвестное: 152 − 111 = 41.
- 42. Сумма всех чисел: 5 × 40 = 200. Сумма известных: 38 + 39 + 40 + 41 = 158. Неизвестное: 200 − 158 = 42.
Если в решении получилось другое число, не меняйте ответ наугад. Сверьте произведение среднего на полное количество элементов, затем сложение известных чисел и только потом вычитание. Последняя проверка всегда одна и та же: среднее полного набора после подстановки найденного числа должно совпасть с условием.