Неполное квадратное уравнение можно решить без общей формулы корней. В уравнении ax² + bx = 0 вынесите x за скобки; в ax² + c = 0 выразите x²; в ax² = 0 найдите единственный корень. Здесь и далее a ≠ 0, а решения ищем только среди действительных чисел.
Чтобы не потерять корень, рассмотрите оба множителя в x(ax + b) = 0 или оба знака при x² = k, если k > 0. Затем подставьте каждый выписанный корень в исходное уравнение: так вы проверите, что он подходит, но не найдёте пропущенные корни.
Определите вид уравнения до вычислений
У всех трёх видов отсутствует хотя бы один член полного квадратного уравнения ax² + bx + c = 0:
| Вид | Что сделать | Что может получиться |
|---|---|---|
| ax² + bx = 0 | Записать x(ax + b) = 0 | Ноль и ещё один корень; иногда они совпадают |
| ax² + c = 0 | Записать x² = −c/a | Два корня, один корень или ни одного действительного |
| ax² = 0 | Разделить на ненулевое a | Один корень: x = 0 |
Если произведение равно нулю, хотя бы один его множитель равен нулю. Поэтому из x(ax + b) = 0 нужно рассмотреть оба случая: x = 0 и ax + b = 0. Деление на x в начале решения недопустимо: так можно отбросить корень x = 0. Это применение свойства нулевого произведения, изложенного в OpenStax.
Для уравнения x² = k знак k решает, сколько будет действительных корней. При k > 0 это два числа, −√k и √k; при k = 0 — только ноль; при k < 0 действительных корней нет. Правило извлечения квадратного корня в OpenStax полезно сверить, если сомневаетесь, почему положительное значение квадрата даёт два знака.
Решая примеры, держите рядом исходную запись. Преобразования находят кандидатов в корни, а подстановка показывает, обращается ли исходная левая часть в ноль. В этом практикуме выражения справа от знака равенства уже равны нулю, поэтому проверка особенно короткая.
Три разобранных примера
Пример 1. Есть члены с x² и x
Решите в действительных числах: 2x² + 3x = 0. Укажите все различные корни.
В обоих слагаемых есть x. Выносим его за скобки: x(2x + 3) = 0. Раскрытие скобок возвращает исходную левую часть: x · 2x + x · 3 = 2x² + 3x. Это удобная быстрая проверка самого преобразования.
Первый множитель даёт x = 0. Из второго получаем 2x + 3 = 0, затем 2x = −3 и x = −1,5. Минус появляется при переносе 3: число, противоположное положительному 3, равно −3.
Проверяем оба числа в исходном уравнении:
- При x = 0: 2 · 0² + 3 · 0 = 0.
- При x = −1,5: 2 · (−1,5)² + 3 · (−1,5) = 2 · 2,25 − 4,5 = 0.
Скобки вокруг −1,5 важны: квадрат берётся от всего отрицательного числа, поэтому (−1,5)² = 2,25. Ответ: x = −1,5; 0. Если бы мы сразу поделили уравнение на x, ответ 0 исчез бы из решения.
Пример 2. Есть x² и свободное число
Решите в действительных числах: 3x² − 27 = 0. Укажите все различные корни.
Переносим −27 вправо: 3x² = 27. Делим обе части на 3: x² = 9. Квадрат равен 9 у двух действительных чисел: x = −3 и x = 3. Здесь нельзя записать только положительный корень, потому что (−3)² тоже равно 9.
Проверяем исходную запись, а не только преобразованное x² = 9:
- При x = −3: 3 · (−3)² − 27 = 3 · 9 − 27 = 0.
- При x = 3: 3 · 3² − 27 = 3 · 9 − 27 = 0.
Ответ: x = −3; 3. Если после переноса справа оказалось бы отрицательное число для x², действительных корней не было бы: квадрат действительного числа не бывает отрицательным.
Пример 3. Остался только квадрат
Решите в действительных числах: 4x² = 0. Укажите все различные корни.
Число 4 не равно нулю, поэтому делим обе части на 4 и получаем x² = 0. Единственное число с нулевым квадратом — x = 0. Записи «−0» и «+0» обозначают одно и то же число, а просят указать различные корни.
Проверка в исходном уравнении: 4 · 0² = 0. Ответ: x = 0. Других ветвей здесь нет: произведение ненулевого числа 4 и x² станет нулём только при x² = 0.
Восемь задач для самостоятельной работы
Решите каждое уравнение в действительных числах и укажите все различные корни. Перед тем как смотреть ключ, определите вид уравнения. Для задач вида ax² + bx = 0 вынесите x за скобки, но не делите на него. Для задач со свободным числом сначала получите запись x² = k и оцените знак k. Затем подставьте каждый найденный корень в исходное уравнение.
- 5x² − 9x = 0.
- 6x² + 216 = 0.
- 7x² − 13x = 0.
- 8x² + 15x = 0.
- 9x² − 729 = 0.
- 10x² + 19x = 0.
- 11x² − 21x = 0.
- 12x² + 1728 = 0.
В задачах есть случаи с нулём, отрицательным корнем, дробью и отсутствием действительных корней. Не заменяйте ответ «корней нет» произвольным числом, которое получилось при ошибочном извлечении корня из отрицательного числа.
Ключи и проверка
4. 5x² − 9x = 0. Получаем x(5x − 9) = 0. Отсюда x = 0 или 5x − 9 = 0, то есть x = 9/5 = 1,8. Проверка: при нуле 5 · 0² − 9 · 0 = 0; при 1,8 получаем 5 · 3,24 − 9 · 1,8 = 16,2 − 16,2 = 0. Ответ: x = 0; 1,8. Здесь знак второго корня положителен: из 5x − 9 = 0 следует 5x = 9.
5. 6x² + 216 = 0. Перенос и деление на 6 дают x² = −36. Такого действительного x нет. Ответ: действительных корней нет. Подставлять кандидатов не требуется: ни одно действительное число не имеет отрицательного квадрата. Обратите внимание на знак: положительное 216 при переносе становится −216.
6. 7x² − 13x = 0. Выносим x: x(7x − 13) = 0. Получаем x = 0 или x = 13/7. Дробь 13/7 оставляем обычной дробью: её десятичная запись бесконечна. Проверка: при x = 0 левая часть равна нулю; при x = 13/7 имеем 7 · (13/7)² − 13 · (13/7) = 169/7 − 169/7 = 0. Ответ: x = 0; 13/7. Если получилось только 13/7, вернитесь к первому множителю x.
7. 8x² + 15x = 0. Записываем x(8x + 15) = 0. Один корень — 0; из 8x + 15 = 0 следует x = −15/8 = −1,875. Проверка для отрицательного корня: 8 · (−1,875)² + 15 · (−1,875) = 28,125 − 28,125 = 0. Для нуля оба слагаемых тоже равны нулю. Ответ: x = −1,875; 0. Плюс перед 15x не означает, что найденный ненулевой корень положителен.
8. 9x² − 729 = 0. Имеем 9x² = 729, значит, x² = 81. Получаем x = −9 и x = 9. Проверка для каждого знака: 9 · (−9)² − 729 = 9 · 81 − 729 = 0; 9 · 9² − 729 = 9 · 81 − 729 = 0. Ответ: x = −9; 9. Именно исходное уравнение показывает, что оба числа подходят, а не только равенство x² = 81.
9. 10x² + 19x = 0. После вынесения x: x(10x + 19) = 0. Поэтому x = 0 или x = −19/10 = −1,9. Подстановка: при x = 0 получаем 0; при x = −1,9 получаем 10 · 3,61 + 19 · (−1,9) = 36,1 − 36,1 = 0. Ответ: x = −1,9; 0. В проверке знак минуса сохраняется у второго слагаемого, хотя квадрат отрицательного числа положителен.
10. 11x² − 21x = 0. Записываем x(11x − 21) = 0. Из первого множителя x = 0, из второго x = 21/11. Проверка нуля очевидна: оба слагаемых равны нулю. Для дробного корня: 11 · (21/11)² − 21 · (21/11) = 441/11 − 441/11 = 0. Ответ: x = 0; 21/11. Округление здесь не нужно: дробь даёт точную подстановку.
11. 12x² + 1728 = 0. Получаем 12x² = −1728, затем x² = −144. Среди действительных чисел решений нет. Ответ: действительных корней нет. Это не случай x = −12: квадрат числа −12 равен положительному 144, и подстановка в исходное уравнение дала бы 12 · 144 + 1728, а не ноль.
Если после этого практикума нужно повторить способы проверки корней при подготовке к ОГЭ, пригодится отдельный материал «Подготовка к ОГЭ: как решать уравнения и проверять корни». Здесь же достаточно запомнить выбор между вынесением x и переходом к x² = k — и проверять каждую полученную ветвь.