Линейное уравнение с десятичными дробями решают теми же равносильными преобразованиями, что и уравнение с целыми числами. Можно собрать члены с x в одной части, числа — в другой. Если запятые мешают считать, сначала умножьте обе части уравнения на 10, 100 или 1000 так, чтобы все записанные десятичные дроби превратились в целые числа.
В ответе не нужно округлять полученное значение. Для проверки подставьте точное число в исходное уравнение: левая и правая части должны совпасть. Во всех задачах ниже десятичные записи конечные, поэтому обычные вычисления с ними дают точные результаты.
Выберите удобную форму вычислений
Например, если в уравнении есть число 0,01, а чисел с тремя знаками после запятой нет, умножение обеих частей на 100 уберёт запятые. Если встречается 0,215, потребуется множитель 1000. Умножать надо каждое слагаемое с обеих сторон; преобразование только левой части меняет само уравнение.
Другой путь — сразу перенести члены с x и свободные числа:
a x + b = c x + d (a − c)x = d − b.
Здесь важно сохранить знаки. Выражение d − b появляется потому, что b вычитают из обеих частей; выражение a − c — потому, что c x вычитают из обеих частей. Если a − c не равно нулю, остаётся разделить на этот коэффициент. В задачах практикума он ненулевой.
Оба подхода равноправны. Раздел OpenStax об уравнениях с дробями и десятичными числами показывает приём устранения десятичных коэффициентов общим множителем. Ниже для первых примеров мы сопоставим перенос и умножение, а в ключах выберем более короткую запись.
Три разобранных примера
Пример 1. Три знака после запятой
Решите в действительных числах: 0,2x + 0,5 = 0,01x + 0,215. Укажите все различные корни.
Соберём x слева, числа справа. Вычитаем 0,01x и 0,5 из обеих частей:
(0,2 − 0,01)x = 0,215 − 0,5, 0,19x = −0,285, x = −0,285/0,19 = −1,5.
Последнее деление можно выполнить без десятичных запятых: умножить числитель и знаменатель дроби на 1000, получив −285/190 = −3/2 = −1,5. Так видно, что ответ точный.
Есть и второй путь к тому же результату. Умножаем исходное уравнение целиком на 1000: 200x + 500 = 10x + 215. Тогда 190x = −285 и x = −1,5. Нельзя умножить на 1000 только 0,215: равенство перестанет быть равносильным исходному.
Проверяем в исходной записи: слева 0,2 · (−1,5) + 0,5 = −0,3 + 0,5 = 0,2; справа 0,01 · (−1,5) + 0,215 = −0,015 + 0,215 = 0,2. Ответ: x = −1,5.
Пример 2. Отрицательный целый корень
Решите в действительных числах: 0,3x + 0,6 = 0,02x + 0,32. Укажите все различные корни.
Вычтем 0,02x из обеих частей, а 0,6 перенесём вправо: (0,3 − 0,02)x = 0,32 − 0,6. Получаем 0,28x = −0,28, значит, x = −1. Равенство легко проверить и после умножения всего исходного уравнения на 100: 30x + 60 = 2x + 32, то есть 28x = −28.
Обратная подстановка: слева 0,3 · (−1) + 0,6 = 0,3; справа 0,02 · (−1) + 0,32 = 0,3. Ответ: x = −1. Минус у корня закономерен: положительное число 0,28, умноженное на x, должно дать −0,28.
Пример 3. Корень с одним знаком после запятой
Решите в действительных числах: 0,4x + 0,7 = 0,03x + 0,515. Укажите все различные корни.
Перенос даёт (0,4 − 0,03)x = 0,515 − 0,7, то есть 0,37x = −0,185. Тогда x = −0,185/0,37 = −0,5. Чтобы увидеть это без деления «в столбик», заметим: половина 0,37 равна 0,185, а знак в правой части отрицателен.
Проверка в исходном уравнении: слева 0,4 · (−0,5) + 0,7 = −0,2 + 0,7 = 0,5. Справа 0,03 · (−0,5) + 0,515 = −0,015 + 0,515 = 0,5. Ответ: x = −0,5. Проверка преобразованного 0,37x = −0,185 была бы полезна для арифметики, но она не заменяет подстановку в исходную запись.
Восемь задач для самостоятельной работы
Решите уравнения в действительных числах и укажите все различные корни. Для каждого можно либо сразу собрать x, либо сначала убрать запятые умножением обеих частей на подходящую степень 10. Записывайте точные ответы без округления. Затем подставьте найденное значение x в первоначальное уравнение.
- 0,5x + 0,8 = 0,04x + 0,8.
- 0,6x + 0,9 = 0,05x + 1,175.
- 0,7x + 1 = 0,06x + 1,64.
- 0,8x + 1,1 = 0,07x + 2,195.
- 0,9x + 1,2 = 0,08x + 2,84.
- x + 1,3 = 0,09x + 3,575.
- 1,1x + 1,4 = 0,1x + 4,4.
- 1,2x + 1,5 = 0,11x + 5,315.
Перед сверкой с ключом полезно посмотреть на правую часть после переноса. В задаче 4 свободные числа одинаковы, поэтому справа получится ноль. В следующих задачах знак разности подсказывает знак корня, так как коэффициент при x после переноса положителен.
Ключи и точная проверка
4. 0,5x + 0,8 = 0,04x + 0,8. Получаем (0,5 − 0,04)x = 0,8 − 0,8, то есть 0,46x = 0 и x = 0. Проверка: слева 0,5 · 0 + 0,8 = 0,8; справа 0,04 · 0 + 0,8 = 0,8. Ответ: x = 0. Одинаковые свободные числа сокращаются после переноса, но члены с x всё равно нужно сопоставить.
5. 0,6x + 0,9 = 0,05x + 1,175. Имеем 0,55x = 1,175 − 0,9 = 0,275. Отсюда x = 0,5. Подстановка: левая часть 0,6 · 0,5 + 0,9 = 0,3 + 0,9 = 1,2; правая 0,05 · 0,5 + 1,175 = 0,025 + 1,175 = 1,2. Ответ: x = 0,5. Число 0,275 — ровно половина 0,55.
6. 0,7x + 1 = 0,06x + 1,64. После переноса 0,64x = 0,64, значит, x = 1. В исходном уравнении слева 0,7 · 1 + 1 = 1,7; справа 0,06 · 1 + 1,64 = 1,7. Ответ: x = 1. Здесь единица в условии — обычное целое число, а не число с пропущенными разрядами после запятой.
7. 0,8x + 1,1 = 0,07x + 2,195. Вычитаем: 0,73x = 2,195 − 1,1 = 1,095. Получаем x = 1,5. Проверка: 0,8 · 1,5 + 1,1 = 1,2 + 1,1 = 2,3; 0,07 · 1,5 + 2,195 = 0,105 + 2,195 = 2,3. Ответ: x = 1,5. Если при вычитании 2,195 − 1,1 потерять разряд, подстановка сразу покажет несовпадение частей.
8. 0,9x + 1,2 = 0,08x + 2,84. Собираем x: 0,82x = 2,84 − 1,2 = 1,64. Значит, x = 2. Проверка исходного уравнения: 0,9 · 2 + 1,2 = 1,8 + 1,2 = 3; 0,08 · 2 + 2,84 = 0,16 + 2,84 = 3. Ответ: x = 2. В проверке число 3 можно оставить целым: обе части равны ему точно.
9. x + 1,3 = 0,09x + 3,575. Коэффициент перед x слева равен 1. Поэтому (1 − 0,09)x = 3,575 − 1,3, или 0,91x = 2,275. Получаем x = 2,5. Подстановка: слева 2,5 + 1,3 = 3,8; справа 0,09 · 2,5 + 3,575 = 0,225 + 3,575 = 3,8. Ответ: x = 2,5. Не пропускайте невидимую единицу перед x при вычитании коэффициентов.
10. 1,1x + 1,4 = 0,1x + 4,4. Разность коэффициентов равна 1,1 − 0,1 = 1. Разность свободных чисел равна 4,4 − 1,4 = 3. Следовательно, x = 3. Проверка: слева 1,1 · 3 + 1,4 = 3,3 + 1,4 = 4,7; справа 0,1 · 3 + 4,4 = 0,3 + 4,4 = 4,7. Ответ: x = 3. После переноса остаётся 1x = 3, а не 0x = 3.
11. 1,2x + 1,5 = 0,11x + 5,315. Получаем 1,09x = 5,315 − 1,5 = 3,815. Число 3,815 равно 1,09 · 3,5, поэтому x = 3,5. Проверка: 1,2 · 3,5 + 1,5 = 4,2 + 1,5 = 5,7; 0,11 · 3,5 + 5,315 = 0,385 + 5,315 = 5,7. Ответ: x = 3,5. В вычислениях полезно выровнять разряды: 5,315 − 1,500 = 3,815.
Если решаете уравнения в рамках подготовки к ОГЭ и хотите отдельно повторить проверку найденного корня, пригодится материал «Подготовка к ОГЭ: как решать уравнения и проверять корни». Для этого практикума главный навык — выполнять одинаковые действия с обеими частями равенства и проверять точный, неокруглённый ответ.