Чтобы найти среднее арифметическое, сложите все данные числа и разделите сумму на их количество. Для чисел 4, 6 и 8 сумма равна 18, чисел три, поэтому среднее равно 18 : 3 = 6. Количество чисел в делителе так же важно, как их сумма.
Среднее удобно, когда нужно описать группу одним числом или проверить, как распределилась общая сумма. Но оно не всегда похоже на типичное значение в наборе. Ниже есть упражнения на вычисление, восстановление пропущенного числа и оценку того, насколько ответ хорошо описывает данные.
Шаг 1. Сосчитайте значения, затем их сумму
Запишите числа через запятую и отметьте каждое один раз. Например, для набора 5, 7, 7, 9 есть четыре значения, хотя разных чисел только три. Сумма равна 5 + 7 + 7 + 9 = 28. Среднее: 28 : 4 = 7. Повторяющуюся семёрку нельзя пропускать: это отдельное значение.
Можно представить, что 28 одинаковых предметов распределили поровну между четырьмя участниками. Каждому досталось бы по 7. Эта идея объясняет смысл среднего, но при решении всё равно нужна точная запись суммы и количества.
Если слагаемых много, объединяйте их удобно. Для чисел 12, 18, 14 и 16 сначала составьте пары: 12 + 18 = 30, 14 + 16 = 30. Тогда общая сумма 60, а среднее 60 : 4 = 15. Ответ находится между наименьшим числом 12 и наибольшим 18 — это быстрая проверка разумности результата.
Первые упражнения
Найдите среднее и сравните решение с разбором.
- 3, 5, 7. Сумма 15, значений три. Среднее: 15 : 3 = 5.
- 6, 6, 10, 10. Сумма 32, значений четыре. Среднее: 32 : 4 = 8.
- 2, 4, 9. Сумма 15, значений три. Среднее: 15 : 3 = 5.
- 11, 13, 15, 17, 19. Удобно сложить крайние числа: 11 + 19 = 30, 13 + 17 = 30, затем прибавить 15. Сумма 75, значений пять. Среднее: 75 : 5 = 15.
В третьем упражнении среднее не обязано совпадать с одним из исходных чисел по особому правилу — здесь совпадение с 5 вообще отсутствует. Среднее 5 находится между 2 и 9, хотя самого числа 5 в наборе нет.
Шаг 2. Работайте с дробным ответом
Среднее не обязано быть целым числом. У трёх чисел 4, 5 и 8 сумма равна 17. Делим на 3 и получаем 17/3, или 5 2/3. Если задача допускает десятичное приближение, можно написать около 5,67, но точный ответ — 17/3.
В задачах с измерениями десятичная запись часто удобнее. Например, длины трёх лент равны 1,2 м, 1,5 м и 1,8 м. Их сумма 4,5 м, а среднее 4,5 : 3 = 1,5 м. Единицу измерения сохраняют и в ответе.
Проверьте себя на двух примерах:
- Для чисел 2, 3, 4 и 6 сумма равна 15, а среднее — 15 : 4 = 3,75.
- Для чисел 0,8; 1,1; 1,4 сумма равна 3,3, а среднее — 3,3 : 3 = 1,1.
Нуль тоже может быть одним из значений. Если за четыре дня прочитано 0, 6, 8 и 10 страниц, то сумма равна 24, а среднее за день — 24 : 4 = 6 страниц. День с нулём учитывается: он входит в указанный период.
Шаг 3. Проверьте среднее обратным действием
Если среднее равно 12 для пяти чисел, общая сумма должна быть 12 · 5 = 60. Этой проверкой можно пользоваться после любого упражнения: умножьте ответ на количество значений и сравните с найденной суммой.
Например, для 7, 9, 11, 13 сумма равна 40, значений четыре, среднее равно 10. Обратная проверка: 10 · 4 = 40. Если при подсчёте получилось среднее 8, обратное произведение 8 · 4 = 32 сразу покажет расхождение.
Проверка помогает и в заданиях с пропущенным числом. Среднее четырёх чисел 5, 7, 8 и x равно 7. Значит, их общая сумма должна быть 7 · 4 = 28. Известные числа дают 5 + 7 + 8 = 20, поэтому x = 28 − 20 = 8. Проверка: (5 + 7 + 8 + 8) : 4 = 28 : 4 = 7.
Упражнения на неизвестное значение
1. Среднее трёх чисел 6, 10 и x равно 9. Общая сумма должна быть 9 · 3 = 27. Известная часть равна 16, поэтому x = 27 − 16 = 11. Проверка: (6 + 10 + 11) : 3 = 9.
2. Среднее четырёх чисел 3, 5, 8 и x равно 6. Нужная сумма — 6 · 4 = 24. Известная сумма — 16. Ответ: x = 8. Проверка: (3 + 5 + 8 + 8) : 4 = 6.
3. За три прогулки прошли 2 км, 3 км и некоторое число километров. Средняя длина прогулки составила 4 км. Всего пройдено 4 · 3 = 12 км. Первые две прогулки дали 5 км, значит, третья составила 7 км. Проверка: (2 + 3 + 7) : 3 = 4 км.
Во всех трёх условиях указаны количество значений и среднее. Без количества нельзя было бы однозначно восстановить общую сумму.
Шаг 4. Определите, хорошо ли среднее описывает данные
Представьте четыре поездки на велосипеде длительностью 20, 20, 20 и 60 минут. Сумма равна 120 минут, среднее — 30 минут. Вычисление верно, но три из четырёх поездок длились 20 минут. Если вопрос звучит «сколько обычно длилась поездка», одно число 30 может создать неверное впечатление.
В таком случае полезно назвать и среднее, и сами значения либо их диапазон: от 20 до 60 минут. Большое отличие одного значения от остальных объясняет, почему среднее оказалось выше большинства результатов. Чтобы отдельно разобраться с расстоянием между крайними значениями, можно открыть статью «Размах числового ряда: как найти и проверить».
Есть и другой пример. Для набора 8, 9, 10, 11, 12 сумма равна 50, среднее — 10. Значения расположены рядом с 10, поэтому здесь среднее хорошо передаёт их общий уровень. Сравнение двух наборов учит читать ответ, а не только выполнять деление.
Необычное значение не делает вычисление неправильным. Оно меняет то, что можно сказать по результату. В задачах с оценкой данных спросите: «Похоже ли среднее на большинство значений?» Если нет, покажите читателю исходные числа или хотя бы самое маленькое и самое большое.
Смешанные упражнения
1. За пять дней собрали 4, 6, 5, 7 и 8 коробок. Найдите среднее число коробок за день. Сумма равна 30, дней пять, среднее 30 : 5 = 6 коробок.
2. Средняя масса трёх одинаково учитываемых посылок равна 2 кг. Две посылки весят 1,5 кг и 2,2 кг. Какова масса третьей? Общая масса должна быть 2 · 3 = 6 кг. Первые две весят 3,7 кг, значит, третья — 6 − 3,7 = 2,3 кг. Проверка: (1,5 + 2,2 + 2,3) : 3 = 2 кг.
3. В наборе чисел 1, 1, 1 и 9 найдите среднее и скажите, похоже ли оно на большинство значений. Сумма равна 12, среднее 12 : 4 = 3. Три значения из четырёх равны 1, поэтому среднее 3 не описывает большинство значений без пояснения.
4. У двух групп по три результата. В первой — 4, 5, 6; во второй — 2, 5, 8. Найдите оба средних. Сумма каждой группы равна 15, поэтому оба средних равны 5. Одинаковые средние здесь не означают одинаковый набор результатов: во второй группе крайние числа дальше друг от друга.
Частые вопросы
Можно ли найти общее среднее по средним двух групп?
Да, если известно, сколько значений в каждой группе. У двух человек среднее 4, у четырёх человек среднее 7. Общая сумма равна 2 · 4 + 4 · 7 = 36, всего человек шесть, общее среднее — 36 : 6 = 6. Просто сложить 4 и 7 и разделить на 2 здесь нельзя: группы разного размера.
Нужно ли округлять среднее?
Округляйте, если этого требует условие или точный ответ неудобен для практической задачи. Для чисел 1 и 2 среднее равно 1,5; превращать его в 2 без указания об округлении не следует.
Может ли среднее быть больше всех чисел в наборе?
Нет. Для обычного среднего арифметического оно находится между самым маленьким и самым большим значением, включая границы. Если ответ вышел за этот промежуток, проверьте сумму и количество чисел.