Обратную задачу составляют из уже решённой: найденный ответ делают известным числом, а одно из прежних известных чисел превращают в вопрос. При этом история и связь между величинами сохраняются. Получившуюся задачу нужно решить: её ответ должен вернуть выбранное число из исходного условия.
Например, было 8 синих и 5 красных карандашей. Всего 13 карандашей. Обратный вопрос может звучать так: «Всего 13 карандашей, из них 8 синих. Сколько красных?» Ответ — 13 − 8 = 5. Новая задача опирается на ту же связь: синие карандаши + красные карандаши = все карандаши.
Начните с трёх чисел и их смысла
Возьмём исходную задачу: «Для гирлянды вырезали 7 жёлтых звёзд и 9 голубых. Сколько всего звёзд вырезали?» Решение: 7 + 9 = 16. Здесь каждое число имеет роль: 7 — жёлтые звёзды, 9 — голубые, 16 — все звёзды.
Первую обратную задачу составим, сделав неизвестным число жёлтых звёзд: «Для гирлянды вырезали 16 звёзд. Из них 9 голубых. Сколько жёлтых звёзд вырезали?» Решение: 16 − 9 = 7.
Во второй обратной задаче неизвестно число голубых: «Для гирлянды вырезали 16 звёзд. Из них 7 жёлтых. Сколько голубых звёзд вырезали?» Решение: 16 − 7 = 9.
В обеих новых задачах ответ исходной задачи, 16, стал известным. Меняется только то, какую часть нужно найти. Если просто заменить слова «жёлтые» и «голубые», не изменив известное и искомое, получится перефразированная исходная задача, а не обратная.
Запишите связь до того, как менять вопрос
Обратную задачу легче составлять, если сначала назвать связь величин простыми словами. Для звёзд она такая: жёлтые + голубые = все звёзды. Для покупки нескольких одинаковых предметов связь иная: цена одного × количество = стоимость всех. Для пройденного пути при постоянной скорости: скорость × время = расстояние.
Не нужно перечислять формулы ради формул. Запись нужна, чтобы не потерять смысл при перестановке чисел. Допустим, три одинаковые открытки стоят по 12 рублей. Сколько заплатили? 12 × 3 = 36 рублей. Если сделать неизвестной цену одной открытки, новая задача будет такой: «За три одинаковые открытки заплатили 36 рублей. Сколько стоила одна?» Решение: 36 : 3 = 12 рублей.
Проверка обеих задач связывает те же величины: 12 рублей за открытку × 3 открытки = 36 рублей. А вот фраза «За три открытки заплатили 36 рублей. Сколько стоила первая?» не даёт однозначного ответа: открытки могли стоить по-разному. Слово «одинаковые» в этой задаче сохраняет нужную связь, поэтому его нельзя терять.
Составляйте задачу по короткой последовательности
Когда исходная задача уже решена, действуйте так:
- Подпишите, что означает каждое число, вместе с единицей измерения: штуки, рубли, минуты.
- Запишите найденный ответ рядом с исходными данными. Теперь это число можно использовать в новом условии.
- Выберите одно известное число, которое станет неизвестным.
- Составьте новый рассказ так, чтобы остальные числа и нужная связь были указаны до вопроса.
- Решите обратную задачу и сравните ответ с выбранным числом из исходного условия.
Например: «В альбом положили 6 фотографий с прогулки и ещё несколько фотографий из поездки. Всего в альбоме 14 фотографий. Сколько фотографий из поездки положили?» Решение: 14 − 6 = 8.
Теперь сделаем неизвестным исходное общее число: «В альбом положили 6 фотографий с прогулки и 8 фотографий из поездки. Сколько всего фотографий положили?» Решение: 6 + 8 = 14. История осталась той же, известное 14 стало искомым, а найденное 8 вошло в новое условие.
Такой обмен помогает ребёнку увидеть, что обратная задача не требует придумывать новую ситуацию. Достаточно иначе распределить уже связанные числа между условием и вопросом.
Сохраняйте точность слов «на» и «в»
Рассмотрим исходную задачу: «На первой полке 11 книг, а на второй на 4 книги больше. Сколько книг на второй полке?» Решение: 11 + 4 = 15 книг.
Можно спросить о количестве на первой полке: «На второй полке 15 книг. Это на 4 книги больше, чем на первой. Сколько книг на первой полке?» Решение: 15 − 4 = 11 книг. Можно спросить о разнице: «На первой полке 11 книг, на второй 15. На сколько книг больше на второй полке?» Решение: 15 − 11 = 4 книги.
Здесь связь — разность количеств, равная 4. Если в обратном условии случайно заменить «на 4 книги больше» словами «в 4 раза больше», связь изменится и проверка не вернёт 11. При составлении обратной задачи полезно сначала прочитать новое условие без вычислений и спросить: «О тех же самых полках и том же различии идёт речь?»
Проверяйте не только число, но и вопрос
Пусть исходная задача говорит: «На занятии сделали 4 бумажных кораблика утром и 6 вечером. Сколько всего корабликов сделали?» Ответ: 10 корабликов. Неудачный обратный вопрос: «Сколько корабликов сделали вечером, если всего было 10?» В нём не сказано, сколько сделали утром. Вариантов много: утром могли сделать 1, 2 или 4 кораблика, и вечерний результат каждый раз был бы другим.
Полное обратное условие звучит так: «На занятии сделали 10 бумажных корабликов, из них 4 утром. Сколько корабликов сделали вечером?» Ответ: 10 − 4 = 6. В этой задаче есть все данные, чтобы получить единственное число.
Проверяйте и единицы. Если цена указана в рублях за одну вещь, а вопрос касается стоимости нескольких вещей, в ответе будут рубли. Если вопрос касается количества вещей, в ответе будут штуки. Подписи рядом с числами помогают не принять правильное вычисление за ответ на другой вопрос.
При чтении условий полезно сначала отделять данные от вопроса. Об этом подробнее — в статье «Как научить ребёнка решать задачи по математике в 3 классе».
Попробуйте составить обратные задачи сами
Задача 1. В наборе 5 зелёных и 8 фиолетовых фломастеров. Сколько всего фломастеров? Исходное решение: 5 + 8 = 13.
Составьте задачу, в которой неизвестно число зелёных фломастеров. Получится: «В наборе 13 фломастеров, из них 8 фиолетовых. Сколько зелёных?» Решение: 13 − 8 = 5. Проверка исходной задачи: 5 + 8 = 13.
Задача 2. Четыре одинаковых блокнота стоят по 25 рублей. Сколько стоят все блокноты? Исходное решение: 25 × 4 = 100 рублей.
Сделайте неизвестным количество блокнотов: «Несколько одинаковых блокнотов по 25 рублей стоят 100 рублей. Сколько блокнотов купили?» Решение: 100 : 25 = 4 блокнота. Проверка: 25 × 4 = 100 рублей. Цена одного блокнота в новом условии осталась той же.
Задача 3. Лента длиной 18 см на 7 см длиннее другой. Какова длина второй ленты? Исходное решение: 18 − 7 = 11 см.
Сделайте неизвестной длину первой ленты: «Одна лента длиной 11 см. Другая на 7 см длиннее. Какова длина другой ленты?» Решение: 11 + 7 = 18 см. Проверка: 18 − 11 = 7 см, значит, указанная разница сохранилась.
Во всех трёх случаях обратная задача возвращает одно из первоначально известных чисел. Важно произнести, что именно возвращает ответ: число зелёных фломастеров, количество блокнотов или длину ленты. Одного совпадения цифр без их смысла недостаточно.
Как объяснить ошибку без нового правила
Если ребёнок получил в обратной задаче неожиданное число, вернитесь к исходному решению и подпишите каждую величину. Затем прочитайте новое условие и найдите место, где эта величина названа. Часто ошибка скрыта в одной пропущенной фразе: «одинаковые блокноты», «из них 8 фиолетовых», «на 7 см длиннее».
Если условие полное, проверьте вычисление. Например, при стоимости 100 рублей и цене 25 рублей за штуку количество равно 100 : 25 = 4. Умножение 100 × 25 здесь не отвечает на вопрос о количестве. Уточнение «Что означает полученное число?» обычно помогает выбрать действие.
Не обязательно составлять все возможные обратные задачи сразу. Возьмите одно исходное условие и меняйте по одной известной величине. Так проще увидеть, почему новое условие всё ещё описывает ту же связь.
Частые вопросы
Можно ли поменять числа местами в тексте и назвать задачу обратной?
Только если после перестановки изменилось искомое и сохранилась связь величин. Простая смена порядка предложений при прежнем вопросе оставляет исходную задачу той же.
Сколько обратных задач можно составить к одной задаче?
Это зависит от того, какие величины в ней можно сделать неизвестными при сохранении однозначного ответа. Для задачи о двух частях и целом обычно удобно составить две: найти первую часть или вторую.
Что делать, если ребёнку трудно придумать новое условие?
Оставьте те же предметы и запишите рядом три подписи: «первая часть», «вторая часть», «всё». Закройте одну подпись вместе с её числом и попросите составить вопрос именно о ней. Остальные две величины должны прозвучать в условии.