Если одна величина увеличивается вместе с другой, это ещё не доказывает прямую пропорциональность. Нужно проверить, во сколько раз изменились обе величины. При прямой пропорциональности они меняются в одинаковое число раз. При обратной — в противоположных направлениях: одна выросла в несколько раз, другая во столько же раз уменьшилась.
Удобный первый вопрос к задаче: «Что останется одинаковым?» Если несколько одинаковых тетрадей покупают по одной цене за штуку, постоянна цена тетради. Если одну работу делят между людьми с одинаковой скоростью, постоянен общий объём работы. Это помогает выбрать зависимость до вычислений.
Начните с условия, а не с формулы
Возьмём тетради по 25 рублей. Одна стоит 25 рублей, две — 50, четыре — 100. Число тетрадей выросло с двух до четырёх в 2 раза, стоимость тоже выросла в 2 раза. Это прямая пропорциональность: чем больше одинаковых тетрадей, тем больше общая стоимость при неизменной цене одной.
Теперь представим 24 одинаковые карточки, которые нужно поровну раздать детям. Если детей четверо, каждый получит 6 карточек. Если детей восемь, каждый получит 3. Детей стало в 2 раза больше, карточек у каждого — в 2 раза меньше. Это обратная пропорциональность: общее число карточек остаётся равным 24.
Слова «больше» и «меньше» дают только подсказку. Например, при покупке двух тетрадей по 25 рублей и четырёх по 30 рублей стоимость тоже растёт. Но цена одной изменилась, поэтому прежнее правило для этих двух покупок уже не подходит.
Проверьте прямую пропорциональность отношением
При прямой пропорциональности отношение соответствующих значений постоянно. Если обозначить число тетрадей буквой x, а стоимость буквой y, то y : x — цена одной тетради. Для покупок из примера получаем 25 : 1 = 25, 50 : 2 = 25 и 100 : 4 = 25.
Не обязательно начинать с букв. Можно спросить ребёнка: «Сколько рублей приходится на одну тетрадь в каждой строке?» Если ответ всюду 25, зависимость подходит. Такой способ работает и с другими величинами: стоимостью за метр ленты, массой одинаковых упаковок, расстоянием за час при постоянной скорости.
Для пары значений можно записать и отношение изменений. Например, 3 одинаковые открытки стоят 45 рублей, а 7 — 105 рублей. Число открыток изменилось в 7 : 3 раза. Стоимость — в 105 : 45 раза. Оба отношения равны 7 : 3. Проверка проще через стоимость одной открытки: 45 : 3 = 15 и 105 : 7 = 15 рублей.
У этого способа есть важное условие: сравниваем одни и те же предметы по одной и той же цене. Если вторая партия открыток продаётся со скидкой, деление покажет разные цены за штуку. Тогда нельзя находить её стоимость по старому отношению.
Для обратной зависимости проверьте произведение
При обратной пропорциональности произведение двух величин постоянно. Если 24 карточки делят поровну, число детей × число карточек у каждого всегда равно 24. Проверим: 4 × 6 = 24 и 8 × 3 = 24.
Рассмотрим работу, которую выполняют люди с одинаковой скоростью. Четырём работникам нужно 9 часов. Если ту же работу без помех выполняют шесть работников с той же скоростью, количество «рабочих часов» сохраняется: 4 × 9 = 36 и 6 × 6 = 36. Значит, шести работникам потребуется 6 часов.
Здесь важно прочитать условие целиком. В реальной работе люди могут мешать друг другу, пользоваться одним инструментом или выполнять разные операции. В этой задаче прямо сказано, что объём работы тот же, а скорость каждого одинакова. Поэтому зависимость можно считать обратной.
Ребёнку можно предложить короткую устную проверку: «Работников стало больше с четырёх до шести. Время должно стать больше или меньше?» Ответ «меньше» ещё не даёт числа, но помогает заметить грубую ошибку до окончания расчёта.
Как записать отношение без путаницы
Пусть 5 метров одинаковой ленты стоят 160 рублей. Сколько стоят 8 метров при той же цене за метр? Это прямая зависимость. Удобно поставить рядом одинаковые величины: 5 м — 160 руб., 8 м — x руб. Тогда 5 : 8 = 160 : x. Проверим через цену метра: 160 : 5 = 32 рубля; 8 × 32 = 256 рублей. Подставляем: 5 : 8 = 160 : 256. Обе стороны равны 0,625.
Для обратной зависимости запись будет другой. Пусть 3 одинаковых насоса наполняют резервуар за 12 часов. За сколько часов его наполнят 4 таких насоса, если они работают одновременно и с той же скоростью? В этой задаче постоянна вся работа: 3 × 12 = 36 насосо-часов. Для четырёх насосов 4 × x = 36, значит, x = 9 часов.
Если хочется записать именно отношение, сравните число насосов и время в противоположном порядке: 3 : 4 = 9 : 12. Число насосов увеличилось в 4 : 3 раза, а время уменьшилось во столько же. Запись 3 : 4 = 12 : 9 была бы ошибочной: слева число меньше единицы, справа — больше.
Для начала достаточно одного надёжного способа на каждый тип. При прямой зависимости проверяйте одинаковое значение «на одну единицу». При обратной — одинаковое произведение. Отношения добавляйте, когда ребёнок уже понимает, что обозначают числа.
Разберите случай, где направления недостаточно
Автобус проехал за первый час 40 километров, а за второй — 60. За два часа он прошёл 100 километров. Можно ли сказать, что расстояние прямо пропорционально времени? По этим данным — нет: скорость менялась. За один час получилось 40 километров, за два — 100, то есть расстояние выросло в 2,5 раза, а время — в 2 раза.
Другой пример — цена поездки на такси: 100 рублей за подачу машины и 20 рублей за каждый километр. За 2 километра стоимость составит 140 рублей, за 4 километра — 180. Расстояние удвоилось, стоимость выросла, но не удвоилась. Отношения 140 : 2 = 70 и 180 : 4 = 45 рублей на километр различаются. Постоянная доплата меняет зависимость.
Такие случаи полезны, потому что показывают границу правила. Не нужно угадывать тип по словам «дольше», «быстрее» или «дороже». Нужно найти величину, которая в этой задаче действительно сохраняется.
Попробуйте три короткие задачи
Задача 1. За 4 одинаковых блокнота заплатили 180 рублей. Сколько стоят 6 таких блокнотов, если цена одного не меняется?
Цена блокнота: 180 : 4 = 45 рублей. За 6 блокнотов заплатят 6 × 45 = 270 рублей. Это прямая пропорциональность: 180 : 4 = 270 : 6 = 45.
Задача 2. 18 литров сока разлили поровну в 6 одинаковых бутылок. Сколько литров получится в каждой, если тот же сок разлить поровну в 9 бутылок?
В первом случае в бутылке 18 : 6 = 3 литра, во втором — 18 : 9 = 2 литра. Бутылок стало в 1,5 раза больше, объём в каждой стал в 1,5 раза меньше. Проверка: 6 × 3 = 18 и 9 × 2 = 18 литров.
Задача 3. В таблице указаны две покупки яблок: 2 килограмма за 160 рублей и 5 килограммов за 425 рублей. Можно ли считать стоимость прямо пропорциональной массе по этим данным?
Нет. В первой покупке цена килограмма 160 : 2 = 80 рублей, во второй 425 : 5 = 85 рублей. Постоянного отношения нет. Чтобы найти стоимость следующей покупки, понадобится её цена за килограмм.
После каждой задачи попросите ребёнка закончить фразу: «Я выбрал эту зависимость, потому что…» Достаточно назвать то, что остаётся постоянным, и показать проверку. Если объяснение сводится только к «одно выросло», вернитесь к числам.
Как исправлять частые ошибки
Если ребёнок получил большее время при большем числе работников, сначала проверьте смысл ответа. При неизменной работе и одинаковой скорости больше работников должны закончить её быстрее. Затем перемножьте найденное время и число работников: произведение должно совпасть с исходным.
Если в прямой задаче ответ кажется правдоподобным, но неверен, разделите стоимость на количество в обеих строках. Для одинакового товара по одной цене результаты должны совпасть. Такая проверка часто обнаруживает переставленные числа в отношении.
Бывает и другая трудность: в задаче две величины растут одновременно, но ребёнок сразу объявляет их прямо пропорциональными. Предложите третий вопрос: «Если первую величину удвоить, вторая тоже удвоится при условиях задачи?» Для такси с платой за подачу ответ будет отрицательным.
Если нужна помощь именно с чтением условия и выделением известных данных, пригодится материал «Как научить ребёнка решать задачи по математике в 3 классе». Здесь же главный шаг — проверить характер связи между уже найденными величинами.
Частые вопросы
Может ли зависимость быть обратной, если обе величины растут?
Нет: при обратной пропорциональности увеличение одной величины сопровождается уменьшением другой во столько же раз. Если обе растут, проверьте прямую пропорциональность, но одного направления роста для вывода недостаточно.
Что делать, если в ответе получается дробное число?
Проверьте, допускает ли его смысл задачи. Цена метра ленты может быть дробной, а число целых тетрадей — нет. Если расчёт даёт 2,5 тетради, перечитайте условие: возможно, требуется стоимость, длина или округление по отдельно указанному правилу.
Достаточно ли двух строк таблицы, чтобы доказать правило для любых значений?
Две строки позволяют проверить только эти данные. Для всей зависимости нужно ещё условие: например, цена каждой тетради неизменна или общий объём работы один и тот же.