Чтобы найти цифру вместо пропуска, сначала посмотрите, где она стоит и на какое число требуется делимость. Иногда решает последняя цифра числа, иногда — сумма всех его цифр. Ответом может быть одна цифра, несколько цифр, все цифры от 0 до 9 или ни одной.
Ниже — три разобранных примера и восемь задач для самостоятельного решения. Во всех заданиях квадратик обозначает одну цифру от 0 до 9, а найти нужно все подходящие варианты.
Какие признаки применять к числу с пропуском
Для задач этой статьи достаточно пяти правил:
- Число делится на 2, если его последняя цифра — 0, 2, 4, 6 или 8.
- Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
- Число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5.
- Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3.
- Число делится на 10, если его последняя цифра — 0.
Эти признаки приведены в открытом учебнике OpenStax; задачи и разборы ниже составлены для этой статьи.
Обозначим пропущенную цифру буквой x. Например, в записи 2□4 сумма цифр равна 2 + x + 4, то есть 6 + x. Буква здесь не отдельное число, которое можно выбирать без ограничений: x может быть только одной из десяти цифр — от 0 до 9.
Если квадратик стоит не в конце, а последняя цифра уже известна, начните с неё. Так можно сразу понять, делится ли число на 2, 5 или 10 при любом x. Для делимости на 3 подставьте x в сумму цифр. Для делимости на 6 нужны обе проверки: последняя цифра должна подходить для деления на 2, а сумма цифр — для деления на 3.
Как получить полный ответ, а не одну удачную цифру
Запишите сумму известных цифр и прибавьте x. Затем найдите, при каких x эта сумма делится на 3, если такой признак нужен. Проверяйте цифры в порядке от 0 до 9: так проще заметить все подходящие варианты и не записать один из них дважды.
Если последняя известная цифра не подходит для делимости на 2 или 10, дальнейший перебор не поможет. Замена цифры в середине не меняет последнюю цифру. И наоборот: если последняя цифра уже обеспечивает делимость на 5 или 10, средний пропуск можно заполнить любой цифрой.
Не путайте две проверки. Сумма цифр отвечает за делимость на 3, но сама по себе не доказывает делимость на 6. Последняя чётная цифра отвечает за делимость на 2, но сама по себе тоже не доказывает делимость на 6. В решении нужно показать обе части.
Три разобранных примера
Пример 1. Пропуск влияет на сумму цифр
Какие цифры можно поставить вместо квадратика в записи 2□4, чтобы число делилось на 3 без остатка? Найдите все подходящие цифры.
Пусть пропущенная цифра — x. Сумма цифр равна 2 + x + 4 = 6 + x. При x от 0 до 9 она принимает значения от 6 до 15. В этом промежутке на 3 делятся 6, 9, 12 и 15. Значит, x равен соответственно 0, 3, 6 или 9.
Проверим получившиеся числа по тому же признаку: у 204 сумма цифр равна 6; у 234 — 9; у 264 — 12; у 294 — 15. Все четыре суммы делятся на 3. Других подходящих сумм в указанном промежутке нет, поэтому ответ полный.
Ответ: 0, 3, 6, 9.
Пример 2. Пропуск не влияет на нужный признак
Какие цифры можно поставить вместо квадратика в записи 3□0, чтобы число делилось на 5 без остатка? Найдите все подходящие цифры.
Для делимости на 5 важна последняя цифра. В записи 3□0 она уже равна 0 и не изменится, какую бы цифру мы ни поставили вместо квадратика. Поэтому подходят все десять цифр. Например, 300 и 390 делятся на 5 по одному и тому же признаку; проверять отдельно каждое промежуточное число для ответа не требуется.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Пример 3. Для делимости на 6 нужны две проверки
Какие цифры можно поставить вместо квадратика в записи 4□6, чтобы число делилось на 6 без остатка? Найдите все подходящие цифры.
Последняя цифра — 6, поэтому число делится на 2 при любом x. Осталось обеспечить делимость на 3. Сумма цифр равна 4 + x + 6 = 10 + x. При x от 0 до 9 это значения от 10 до 19. Среди них на 3 делятся 12, 15 и 18. Им соответствуют x = 2, x = 5 и x = 8.
Проверка: суммы цифр чисел 426, 456 и 486 равны 12, 15 и 18. Все три числа оканчиваются чётной цифрой 6. Следовательно, каждое делится и на 2, и на 3, а значит, на 6.
Ответ: 2, 5, 8.
Восемь задач для самостоятельного решения
В каждой задаче найдите все цифры от 0 до 9, которые можно поставить вместо квадратика. Если подходящих цифр нет, так и запишите. Для числа, которое должно делиться на 6, проверьте оба необходимых признака.
- Какие цифры можно поставить вместо квадратика в записи 5□2, чтобы число делилось на 2 без остатка?
- Какие цифры можно поставить вместо квадратика в записи 6□5, чтобы число делилось на 10 без остатка?
- Какие цифры можно поставить вместо квадратика в записи 7□8, чтобы число делилось на 3 без остатка?
- Какие цифры можно поставить вместо квадратика в записи 8□4, чтобы число делилось на 6 без остатка?
- Какие цифры можно поставить вместо квадратика в записи 9□0, чтобы число делилось на 10 без остатка?
- Какие цифры можно поставить вместо квадратика в записи 1□3, чтобы число делилось на 2 без остатка?
- Какие цифры можно поставить вместо квадратика в записи 2□5, чтобы число делилось на 5 без остатка?
- Какие цифры можно поставить вместо квадратика в записи 3□2, чтобы число делилось на 3 без остатка?
Ответы с вычислениями
1. Запись 5□2, делимость на 2. Последняя цифра равна 2. Она подходит для делимости на 2 и не зависит от квадратика. Подходят 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Сумму цифр здесь вычислять не нужно: для деления на 2 она не определяет ответ.
2. Запись 6□5, делимость на 10. Число, делящееся на 10, должно оканчиваться нулём. Здесь последняя цифра всегда 5. Подходящих цифр нет: какую бы цифру ни поставить в середину, изменить окончание числа она не сможет.
3. Запись 7□8, делимость на 3. Сумма цифр равна 7 + x + 8 = 15 + x. При x от 0 до 9 возможны суммы от 15 до 24. Из них на 3 делятся 15, 18, 21 и 24. Вычитаем 15 из каждой суммы и получаем x = 0, 3, 6, 9.
4. Запись 8□4, делимость на 6. Последняя цифра 4 обеспечивает делимость на 2 при любом x. Для делимости на 3 нужна подходящая сумма цифр: 8 + x + 4 = 12 + x. Среди сумм от 12 до 21 на 3 делятся 12, 15, 18 и 21. Поэтому x = 0, 3, 6, 9. Обе части признака делимости на 6 выполнены.
5. Запись 9□0, делимость на 10. Последняя цифра уже равна 0, поэтому число делится на 10 независимо от цифры в середине. Подходят 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Здесь не нужно искать особую сумму цифр.
6. Запись 1□3, делимость на 2. Последняя цифра всегда 3, а для делимости на 2 нужна последняя цифра 0, 2, 4, 6 или 8. Подходящих цифр нет. Пропуск находится не на месте последней цифры и не может исправить это условие.
7. Запись 2□5, делимость на 5. Последняя цифра 5 уже удовлетворяет признаку. Любое значение x даст число, делящееся на 5. Подходят 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
8. Запись 3□2, делимость на 3. Сумма цифр равна 3 + x + 2 = 5 + x. Возможны суммы от 5 до 14; на 3 среди них делятся 6, 9 и 12. Отсюда x = 1, 4, 7. Проверка по суммам: 3 + 1 + 2 = 6; 3 + 4 + 2 = 9; 3 + 7 + 2 = 12.
Где чаще теряют правильные варианты
Если найдено одно подходящее число, решение ещё не закончено. Например, для суммы 6 + x недостаточно заметить только x = 0: при x = 3, 6 и 9 сумма тоже делится на 3. Надёжнее пройти весь допустимый ряд цифр или перечислить все подходящие суммы между наименьшей и наибольшей.
Другая ошибка — проверять сумму цифр там, где решает только окончание числа. В задаче на делимость на 10 с записью 6□5 нельзя подобрать «удачную» цифру в середину: число по-прежнему оканчивается на 5. А для записи 9□0, наоборот, не надо исключать цифры из-за суммы — последняя цифра уже обеспечивает делимость на 10.
При делимости на 6 отдельно произнесите обе причины: «последняя цифра подходит для делимости на 2» и «сумма цифр подходит для делимости на 3». Это помогает обнаружить неполное решение, в котором проверена только одна часть признака.
Если трудно понять, что именно требуется найти в формулировке, полезно сначала отделить известные цифры от пропуска и назвать делитель. Более общий способ разбирать такие затруднения описан в статье «Ребёнок не понимает условие задачи: как помочь разобраться».