Признаки делимости помогают понять, делится ли целое число на 2, 3, 5, 9 или 10 без деления столбиком. Для 2, 5 и 10 достаточно посмотреть на последнюю цифру. Для 3 и 9 нужно сложить все цифры числа и проверить полученную сумму.
Например, 270 делится на 2, 5 и 10, потому что оканчивается на 0. Сумма цифр равна 2 + 7 + 0 = 9, поэтому 270 делится также на 3 и 9. В упражнениях ниже сначала выбирайте нужный признак, затем называйте проверяемую цифру или сумму. Так ответ можно быстро проверить.
Шаг 1. Посмотрите на последнюю цифру
Число делится на 2, если его последняя цифра — 0, 2, 4, 6 или 8. Например, 348 оканчивается на 8, значит делится на 2. Число 351 оканчивается на 1, поэтому на 2 не делится. Последняя цифра здесь решает всё: остальные цифры смотреть не требуется.
Число делится на 5, если оканчивается на 0 или 5. Поэтому 735 делится на 5, а 732 — нет. Число делится на 10, если оканчивается на 0: 460 подходит, 465 не подходит. Число с нулём в конце подходит сразу для всех трёх проверок — на 2, 5 и 10.
Проверьте числа 126, 405, 810 и 937. Какие из них делятся на 2, на 5 и на 10?
- 126 делится на 2: последняя цифра 6. На 5 и 10 оно не делится.
- 405 делится на 5: последняя цифра 5. На 2 и 10 оно не делится.
- 810 оканчивается на 0, значит делится на 2, 5 и 10.
- 937 оканчивается на 7, поэтому не делится ни на одно из этих трёх чисел.
Если требуется вспомнить, почему 126 называют чётным числом, поможет статья «Чётные и нечётные числа: как объяснить ребёнку пары». Для признака делимости достаточно проверить его последнюю цифру.
Шаг 2. Сложите цифры для проверки на 3
Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. У числа 231 сумма равна 2 + 3 + 1 = 6; число 6 делится на 3, значит 231 тоже делится на 3. У числа 232 сумма равна 7, поэтому оно на 3 не делится.
Потренируйтесь на трёх числах:
- 714: сумма цифр 7 + 1 + 4 = 12. Число 12 делится на 3, значит 714 делится на 3.
- 1 028: сумма 1 + 0 + 2 + 8 = 11. Число 11 на 3 не делится, значит 1 028 не делится на 3.
- 4 506: сумма 4 + 5 + 0 + 6 = 15. Число 15 делится на 3, значит 4 506 делится на 3.
Пробел в записи 1 028 отделяет тысячи, он не меняет состав числа. Ноль внутри или в конце тоже учитывается при сложении цифр, хотя к сумме ничего не прибавляет. Важно сложить именно цифры, а не части числа: для 714 берём 7, 1 и 4.
Шаг 3. Проверьте сумму цифр на 9
Для делимости на 9 действие то же, но сумма цифр должна делиться на 9. У числа 2 457 сумма равна 2 + 4 + 5 + 7 = 18. Число 18 делится на 9, поэтому 2 457 делится на 9. У числа 2 458 сумма равна 19, поэтому на 9 оно не делится.
Каждое число, которое делится на 9, делится и на 3: 9 само делится на 3. Обратное неверно. Например, у числа 123 сумма цифр равна 6. Оно делится на 3, но не делится на 9. Поэтому при вопросе о делимости на 9 нельзя остановиться на словах «сумма делится на 3».
Определите, какие из чисел 729, 1 134 и 5 421 делятся на 9:
- 729: 7 + 2 + 9 = 18, значит делится на 9.
- 1 134: 1 + 1 + 3 + 4 = 9, значит делится на 9.
- 5 421: 5 + 4 + 2 + 1 = 12, значит на 9 не делится, но делится на 3.
Последний ответ показывает, зачем в одной задаче проверять оба признака отдельно. Сумма 12 подходит для деления на 3 и не подходит для деления на 9.
Шаг 4. Проверьте одно число всеми пятью способами
Возьмём 1 350. Последняя цифра — 0, поэтому число делится на 2, 5 и 10. Сумма цифр: 1 + 3 + 5 + 0 = 9. Значит, оно делится также на 3 и 9. Для каждого ответа есть своё основание: последняя цифра или сумма цифр.
Теперь проверьте 1 275. Последняя цифра 5: число делится на 5, но не делится на 2 и 10. Сумма цифр равна 1 + 2 + 7 + 5 = 15. Оно делится на 3, но не делится на 9. Полный ответ: 1 275 делится на 3 и 5 из предложенных пяти чисел.
Ещё один пример — 4 032. Последняя цифра 2, значит число делится на 2, но не на 5 и 10. Сумма цифр равна 4 + 0 + 3 + 2 = 9, значит оно делится на 3 и 9. Полный ответ: на 2, 3 и 9.
Если в ответе получилось много делителей, это не ошибка. Признаки проверяют разные свойства одного числа, и одно число может удовлетворять сразу нескольким из них.
Шаг 5. Вставьте пропущенную цифру
В таких упражнениях сначала определите, какая часть числа важна для нужного признака. Звёздочка обозначает одну неизвестную цифру от 0 до 9.
Задача 1. Какую цифру поставить вместо звёздочки в числе 64*, чтобы оно делилось на 10? Последняя цифра должна быть 0. Ответ: 640.
Задача 2. Какие цифры подходят для числа 28*, если оно должно делиться на 5? Последняя цифра может быть 0 или 5. Ответы: 280 и 285. В этой задаче решений два: требование делиться на 5 не выбирает одно из них.
Задача 3. Какую цифру поставить в число 4*2, чтобы оно делилось на 9? Сумма известных цифр равна 4 + 2 = 6. Из сумм 6, 7, …, 15 на 9 делится только 9. Значит, пропущенная цифра 3, а число — 432.
Задача 4. Какие цифры подходят для числа 74, если оно должно делиться на 3? Сумма равна 11 + . Подходят суммы 12, 15 и 18, значит звёздочка равна 1, 4 или 7. Ответы: 714, 744, 774.
Если нужно получить единственный ответ, условие должно содержать достаточно ограничений. Например: «В числе 7*4 вставьте наибольшую цифру, при которой число делится на 3». Из найденных 1, 4 и 7 наибольшая — 7, ответ 774.
Шаг 6. Найдите неверное объяснение
Прочитайте три утверждения и исправьте ошибки.
«Число 615 делится на 10, потому что в нём есть цифра 0». В числе 615 вообще нет нуля; главное здесь другое: последняя цифра 5, поэтому 615 делится на 5, но не делится на 10.
«Число 1 111 делится на 3, потому что оно нечётное». Чётность не даёт ответа о делимости на 3. Сумма цифр равна 1 + 1 + 1 + 1 = 4, поэтому 1 111 на 3 не делится.
«Число 846 делится на 9, потому что 8 + 4 + 6 = 18». Это утверждение верно: 18 делится на 9. Число 846 также делится на 3, потому что 18 делится и на 3. В задании на поиск ошибок не обязательно неверна каждая строка; сначала проверьте основание.
Если хотите перейти от вопроса «делится ли число?» к вопросу «какие у него делители?», пригодится статья «Простые числа: как объяснить ребёнку делители». Признаки из этой статьи помогают быстро проверить лишь пять конкретных делителей.
Частые вопросы
Почему для 3 и 9 складывают цифры, а для 2 смотрят на последнюю?
Это разные признаки, и каждый задаёт свой короткий способ проверки. В упражнении сначала найдите делитель в вопросе, затем выберите подходящее действие. Проверять сумму цифр для делимости на 2 не нужно.
Делится ли ноль на 2, 3, 5, 9 и 10?
Да. При делении нуля на каждое из этих ненулевых чисел получается 0 без остатка. Последняя цифра нуля — 0, а сумма его цифр — 0; признаки дают тот же ответ.
Если число делится на 10, нужно ли отдельно проверять 2 и 5?
Нет, когда требуется только ответ. Число, оканчивающееся на 0, по признакам делится и на 2, и на 5. Если задание просит объяснить каждый пункт, назовите последнюю цифру для всех трёх проверок.
Как проверить себя, если сумма цифр получилась большой?
Сложите цифры ещё раз, группируя их удобными парами. Например, у числа 8 793 сгруппируем только его цифры: (8 + 7) + (9 + 3) = 15 + 12 = 27. Для проверки сложим их в другом порядке: (8 + 9) + (7 + 3) = 17 + 10 = 27. Число 27 делится на 3 и 9, значит 8 793 делится на оба этих числа.