Если складывают два отрицательных числа, складывают их модули и ставят перед результатом минус: −4 + (−7) = −11. Если знаки разные, из большего модуля вычитают меньший, а результат получает знак числа с большим модулем: −9 + 5 = −4.
Модуль — расстояние от числа до нуля. Поэтому модуль числа −9 равен 9, а модуль числа 5 равен 5. Сначала сравнивайте именно эти расстояния, затем решайте вопрос о знаке. Такой порядок помогает не угадывать ответ по внешнему виду примера.
Что показывает модуль
На числовой прямой числа −3 и 3 находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны. Их модули равны: |−3| = 3 и |3| = 3. Вертикальные черты здесь означают «модуль числа».
Для сложения полезны три коротких вопроса: каковы знаки слагаемых, каковы их модули и какой знак будет у суммы? Например, в записи −8 + (−2) оба числа отрицательные, их модули 8 и 2. В записи −8 + 2 знаки разные, а модули те же. Ответы будут разными: −10 и −6.
Если ребёнку пока трудно представить числа левее нуля, можно сначала разобрать числа ниже нуля на числовой прямой. Для вычислений в этой статье достаточно понимать, где расположен ноль и что модуль показывает расстояние до него.
Скобки вокруг второго отрицательного числа помогают прочитать выражение: −8 + (−2) означает «к минус восьми прибавить минус два». Скобки не меняют значение числа; они отделяют знак сложения от знака второго слагаемого.
Сложите два отрицательных числа
Возьмём −6 + (−4). Оба слагаемых отрицательные. Складываем их модули: 6 + 4 = 10. Сумма остаётся отрицательной, поэтому ответ −10. На числовой прямой это движение от −6 ещё на четыре единицы влево.
Тот же порядок работает с числами разного размера: −15 + (−3) = −18, потому что 15 + 3 = 18. Нет необходимости решать, какое отрицательное число «сильнее»: для двух отрицательных слагаемых модули именно складываются, а знак суммы известен заранее.
Полезная проверка: сумма двух отрицательных чисел находится левее каждого из них. Например, −18 меньше и −15, и −3. Если при сложении −15 и −3 получился ответ −12, значит вместо сложения модулей было выполнено вычитание.
Посмотрите на ноль: −7 + 0 = −7. Ноль не является отрицательным числом, поэтому правило «сложить модули двух отрицательных» здесь не требуется. Прибавление нуля оставляет число без изменений.
Разберите числа с разными знаками
В примере −9 + 5 модули равны 9 и 5. Вычитаем меньший из большего: 9 − 5 = 4. Больший модуль принадлежит числу −9, поэтому сумма отрицательна: −9 + 5 = −4.
Теперь поменяем размеры: −5 + 9. Разность модулей снова 9 − 5 = 4, но больший модуль принадлежит положительному числу 9. Значит, −5 + 9 = 4. Порядок записи сам по себе не определяет знак: решает сравнение модулей.
Если модули равны, сумма равна нулю: −8 + 8 = 0. Здесь не нужно выбирать, знак какого числа сохранить. Положительное и отрицательное слагаемые одинаковой величины взаимно уравновешиваются.
На числовой прямой это тоже видно. Начните в точке −5 и при прибавлении 9 двигайтесь вправо на девять единиц: сначала пять шагов до нуля, затем ещё четыре — до 4. Так можно проверить ответ, но для больших чисел удобнее считать через модули.
Отличите знак числа от действия
Запись −12 + 7 содержит два знака с разными ролями: «−» перед 12 относится к числу, а «+» между числами обозначает сложение. В записи −12 + (−7) второй минус тоже относится к числу. Читайте пример словами, прежде чем вычислять.
Из-за этого часто появляется ошибочное правило «плюс и минус дают минус». Оно не позволяет решить пример полностью. В выражении −12 + 7 сумма равна −5, а в выражении −7 + 12 сумма равна 5. Знаки одинаковые, но большие модули принадлежат разным слагаемым.
Не путайте сложение с вычитанием. −6 + 4 = −2: к отрицательному числу прибавили положительное. А −6 − 4 = −10: от отрицательного числа вычли положительное. Если на листе оба примера выглядят похоже, обведите знак действия между числами.
При записи нескольких действий удобно сначала раскрыть смысл каждого слагаемого. Например, −4 + (−3) + 10: первые два слагаемых дают −7, затем −7 + 10 = 3. Если сразу сравнивать все три модуля без группировки, легче потерять знак.
Проверьте ответ оценкой
Для двух отрицательных чисел проверка проста: ответ должен быть отрицательным и по модулю больше каждого слагаемого. −13 + (−8) = −21 подходит: модуль 21 больше 13 и 8. Ответ −5 здесь невозможен.
Для чисел с разными знаками модуль суммы равен разности модулей и потому меньше большего из них. В −13 + 8 разность 13 − 8 = 5, значит ответ либо 5, либо −5. Больший модуль у отрицательного числа, поэтому −5.
Можно проверить вычисление обратным действием. Если −13 + 8 = −5, то от суммы отнимем прибавленное число: −5 − 8 = −13. Для простых примеров достаточно проверки модулем и знаком; обратное действие особенно полезно, когда числа крупнее.
Оценка не требует точной числовой прямой. Например, −48 + 50 должно быть небольшим положительным числом: слагаемые почти уравновешивают друг друга, а положительное больше по модулю на 2. Поэтому ответ 2 выглядит разумно, а 98 — нет.
Решите упражнения по порядку
Сначала запишите модули и сравните их. Затем выполните действие с модулями и поставьте знак. Такой порядок удобнее, чем пытаться сразу назвать ответ.
- −7 + (−9).
- −18 + 6.
- −6 + 18.
- −14 + 14.
- −25 + (−5).
- 11 + (−17).
Ответы с объяснением. В первом примере оба числа отрицательные: 7 + 9 = 16, поэтому −16. Во втором модули 18 и 6; разность 12, больший модуль у −18, поэтому −12.
В третьем примере разность тех же модулей равна 12, но больший модуль у положительного 18. Ответ 12. В четвёртом модули равны: 14 − 14 = 0, ответ 0.
В пятом примере складываем модули двух отрицательных чисел: 25 + 5 = 30, ответ −30. В шестом модули 11 и 17; 17 − 11 = 6. Больший модуль у −17, ответ −6.
Если ошибка появилась в заданиях 2, 3 или 6, сравните модули ещё раз и подпишите рядом с каждым его знак. Если ошибка в заданиях 1 или 5, проверьте, не вычитали ли вы модули вместо сложения.
Примените правило в короткой задаче
На шкале температура была −3 градуса. Затем она понизилась ещё на 4 градуса. Понижение удобно записать отрицательным числом: −3 + (−4) = −7. Итоговая отметка — −7 градусов. В этом сюжете оба слагаемых отрицательные: начальное значение ниже нуля и изменение тоже направлено вниз.
Теперь другая ситуация: отметка была −3 градуса и повысилась на 5 градусов. Запись −3 + 5 = 2. Модули 3 и 5, больший принадлежит положительному изменению, поэтому итог выше нуля на 2 градуса.
Слова «понизилась» и «повысилась» помогают выбрать знак изменения, но сам расчёт всё равно выполняется по общему правилу. Сначала переведите изменение в число со знаком, потом сложите его с начальным значением. Это защищает от привычки механически прибавлять любую названную в тексте величину как положительную.
Частые вопросы
Может ли сумма отрицательного и положительного числа быть нулём?
Да, если их модули равны: −12 + 12 = 0. Числа с разными знаками и одинаковыми модулями называют противоположными.
В каком порядке складывать несколько чисел?
Можно группировать удобные слагаемые. Например, −6 + 10 + (−4) = (−6 + (−4)) + 10 = −10 + 10 = 0. При перестановке сохраняйте знак каждого числа.
Как записать сложение, если второе число отрицательное?
Чтобы знаки легко читались, заключите второе число в скобки: 5 + (−8). Затем сравните модули 5 и 8; ответ −3.
Нужно ли рисовать числовую прямую для каждого примера?
Нет. Она помогает понять направление изменения и проверить небольшой ответ. Для вычисления достаточно определить знаки, сравнить модули и выполнить нужное действие.