Степень с целым показателем вычисляют по-разному в зависимости от знака показателя. Если он положительный, основание умножают само на себя нужное число раз. Если показатель равен нулю, результат равен 1 при ненулевом основании. Если показатель отрицательный, находят обратное число: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8.
Начните упражнения с определения основания и показателя, затем переходите к вычислениям. Такой порядок помогает не спутать отрицательное основание с отрицательным показателем: (−2)³ = −8, а 2⁻³ = 1/8. Ниже есть примеры для разбора и задания, которые можно сначала решить самостоятельно, а потом сверить с объяснениями.
Шаг 1. Найдите основание и показатель
В записи 4³ число 4 называют основанием, а 3 — показателем. Запись означает 4 · 4 · 4, поэтому 4³ = 64. Показатель сообщает, сколько множителей взять. Он не означает умножение основания на показатель: 4 · 3 = 12, а 4³ = 64.
Скобки определяют, какое число возводят в степень. В записи (−3)² основание равно −3: (−3) · (−3) = 9. В записи −3² основание степени равно 3, а знак минус стоит перед всей степенью: −3² = −(3 · 3) = −9. Прежде чем считать, попросите школьника показать пальцем границы основания.
Проверьте различие на четырёх коротких заданиях.
- 2⁴. Четыре множителя по 2 дают 2 · 2 · 2 · 2 = 16.
- (−2)⁴. Четыре отрицательных множителя дают положительное число 16.
- −2⁴. Сначала 2⁴ = 16, затем ставим минус: −16.
- (−2)³. Три отрицательных множителя дают −8.
В пунктах 2 и 3 встречаются одинаковые цифры и разные ответы. Здесь полезнее обсудить скобки, чем заново перемножать двойки.
Шаг 2. Разберите нулевой показатель
Для любого ненулевого числа a верно a⁰ = 1. Например, 7⁰ = 1 и (−7)⁰ = 1. Удобная проверка получается при движении по степеням двойки: 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2. Когда показатель уменьшается на единицу, результат делится на 2. Следующее число в этой цепочке — 2⁰ = 1.
Этот переход работает потому, что основание равно 2, а делить на него можно. Выражение 0⁰ в обычных школьных упражнениях по этому правилу не вычисляют. Если оно попалось в записи, его нельзя заменить единицей только по признаку нулевого показателя.
Потренируйтесь на примерах, где легко отвлечься на основание:
- 19⁰ = 1;
- (−5)⁰ = 1;
- −5⁰ = −1, поскольку минус стоит перед степенью 5⁰.
Последняя пара показывает, что правило о нулевом показателе не отменяет порядок действий и значение скобок.
Шаг 3. Перейдите к отрицательному показателю
Отрицательный показатель означает переход к обратному числу. Для ненулевого a и положительного целого n запись a⁻ⁿ означает 1/aⁿ. Сначала можно вычислить степень с положительным показателем, а затем записать дробь.
Например, 3⁻² = 1/3² = 1/9. Для дробного основания удобно поменять местами числитель и знаменатель: (2/5)⁻² = (5/2)² = 25/4. Оба пути дают тот же результат: (2/5)² = 4/25, а обратное к 4/25 число равно 25/4.
Отрицательное основание сохраняет своё значение. Так, (−2)⁻³ = 1/(−2)³ = −1/8. При чётном показателе знак будет положительным: (−2)⁻² = 1/(−2)² = 1/4. Здесь знак ответа зависит от числа отрицательных множителей, а не от одного только минуса в показателе.
Ноль в основание степени с отрицательным показателем брать нельзя: получилось бы деление на ноль. Поэтому запись 0⁻² не имеет значения.
Упражнения на один приём
Вычислите выражения, не пропуская промежуточную запись.
- 5⁻². Ответ: 1/5² = 1/25.
- 10⁻³. Ответ: 1/10³ = 1/1000.
- (−4)⁻². Ответ: 1/(−4)² = 1/16.
- (−4)⁻³. Ответ: 1/(−4)³ = −1/64.
- (3/4)⁻¹. Ответ: 4/3.
- (−2/3)⁻². Ответ: (−3/2)² = 9/4.
Если в четвёртом задании вышло 1/64, ошибка связана со знаком основания. Если в шестом вышло 4/9, отрицательный показатель был прочитан как положительный.
Шаг 4. Выполните действия со степенями
После отдельных вычислений переходите к выражениям. При умножении степеней с одинаковым ненулевым основанием показатели складывают: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. При делении — вычитают: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Это работает и с отрицательными целыми показателями.
Разберите запись 2³ · 2⁻⁵. Складываем показатели: 3 + (−5) = −2. Получаем 2⁻² = 1/4. Проверка обычным умножением даёт то же число: 8 · 1/32 = 8/32 = 1/4.
Теперь пример на деление: 3² : 3⁻¹ = 3²⁻⁽⁻¹⁾ = 3³ = 27. Здесь важно вычесть всё число −1. Проверка: 9 : 1/3 = 9 · 3 = 27.
Если основание возводится в степень ещё раз, показатели перемножают: (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ. Например, (5⁻²)³ = 5⁻⁶ = 1/15625. Можно проверить поэтапно: 5⁻² = 1/25, а (1/25)³ = 1/15625.
Эти правила не переносятся на сложение. Из 2³ + 2² получается 8 + 4 = 12. Складывать показатели и писать 2⁵ здесь нельзя.
Упражнения с разбором ответов
Попробуйте сначала закрыть ответы и решить каждое задание в одну или две строки. Если ответ вызывает сомнение, вычислите степени по отдельности.
1. Вычислите 4² · 4⁻³. Показатели дают 2 + (−3) = −1, значит, 4⁻¹ = 1/4. Проверка: 16 · 1/64 = 16/64 = 1/4.
2. Вычислите 6⁻¹ : 6⁻². При делении вычитаем показатели: −1 − (−2) = 1. Ответ: 6¹ = 6. По отдельности выходит 1/6 : 1/36 = 6.
3. Вычислите (−3)² · (−3)⁻³. Основание в обеих степенях одинаковое и записано в скобках. Сумма показателей равна −1, поэтому ответ (−3)⁻¹ = −1/3. Проверка: 9 · (−1/27) = −1/3.
4. Вычислите (2/3)⁻² · (2/3)². Сумма показателей равна нулю. Основание не равно нулю, значит, ответ 1. Проверка: 9/4 · 4/9 = 1.
5. Вычислите (10⁻¹)². Умножаем показатели: −1 · 2 = −2. Ответ: 10⁻² = 1/100. При поэтапном вычислении (1/10)² тоже получается 1/100.
6. Сравните (−2)⁻² и −2⁻². Первая запись равна 1/(−2)² = 1/4. Вторая равна −(2⁻²) = −1/4. Следовательно, (−2)⁻² больше.
Как проверять работу и находить ошибку
Для короткого примера лучший способ проверки — вычислить его другим путём. Если применяли правило показателей, отдельно посчитайте обе степени. Если сразу перевернули дробь при отрицательном показателе, сначала возведите исходную дробь в положительную степень и найдите обратное число.
Отдельно проверяйте знак. У (−5)⁻² результат положительный, потому что (−5)² = 25. У (−5)⁻³ результат отрицательный, потому что (−5)³ = −125. Минус в показателе меняет число на обратное; чётность показателя определяет знак степени отрицательного основания.
Полезно оценить и размер ответа. Если основание больше 1, например 7, то 7⁻² = 1/49 — положительное число меньше 1. Ответ 49 на такой пример сразу показывает, что переход к обратному числу пропущен. Для основания между 0 и 1 картина иная: (1/2)⁻² = 4.
Когда упражнения на степени уже понятны, обратную проверку можно обсудить на другом действии — в статье «Квадратный корень: как объяснить ребёнку обратную проверку». Она пригодится, если школьник путает возведение в квадрат и поиск числа по его квадрату.
Частые вопросы
Как записать ответ, если получилась неправильная дробь?
Если в задаче нет требования выделить целую часть, дробь 25/4 уже является точным ответом. При желании её можно записать как 6 1/4. Десятичное приближение здесь не нужно.
Можно ли вводить отрицательный показатель в калькуляторе?
Можно, если калькулятор поддерживает степени. Сначала проверьте, как он читает скобки: для (−2)⁻³ нужно ввести отрицательное основание целиком. Ручная запись 1/(−2)³ помогает понять результат, даже когда вычисление выполняет устройство.
Почему у числа 1 любая целая степень равна 1?
При положительном показателе произведение единиц равно 1. При нулевом показателе действует правило 1⁰ = 1. При отрицательном показателе получается обратное к 1, то есть снова 1.