Для функции y=xⁿ, где n — положительное натуральное число, вид графика прежде всего определяет чётность показателя. При чётном n левая половина повторяет правую зеркально относительно оси y; при нечётном — точки по разные стороны начала координат имеют противоположные координаты x и y. Отдельный случай n=1: график y=x — прямая.
Чтобы построить конкретный график, подставьте несколько положительных, нулевое и отрицательных значений x, отметьте полученные точки и соедините их с учётом симметрии. Одной только фразы «похоже на параболу» недостаточно: x² и x⁴, например, проходят через общие точки, но между ними ведут себя по-разному.
Что показывает натуральный показатель
Запись xⁿ означает произведение n одинаковых множителей x. Например, x³=x· x· x, а x⁴=x· x· x· x. Здесь n — фиксированное положительное целое число: 1, 2, 3 и так далее. Меняется аргумент x, который может быть отрицательным, нулевым или положительным.
Для любого такого n график проходит через (0;0) и (1;1), потому что 0ⁿ=0 и 1ⁿ=1. Значение при x=-1 зависит от чётности: у чётной степени это 1, у нечётной — -1. Эти три точки удобно отмечать первыми, но они ещё не задают всю форму кривой.
Область определения — все действительные числа: любое действительное x можно возвести в положительную целую степень. Поэтому при построении нужно рассмотреть и левую половину координатной плоскости.
Почему знак слева зависит от чётности
При отрицательном x каждый множитель в произведении xⁿ отрицателен. Два отрицательных множителя дают положительный результат. Если множителей чётное число, они все разбиваются на пары и итог положителен. Если число нечётное, один отрицательный множитель остаётся без пары, и итог отрицателен.
Это записывают коротко:
(-x)ⁿ=xⁿ при чётном n,
(-x)ⁿ=-xⁿ при нечётном n.
Здесь справа x можно считать положительным числом, чтобы сравнить значения в точках с противоположными абсциссами. Например, (-2)⁴=16, а (-2)³=-8. Скобки важны: (-2)⁴ — степень отрицательного числа, а запись -2⁴ без скобок обычно означает отрицание результата 2⁴, то есть -16.
Особый случай: n=1
При n=1 функция имеет вид y=x. Каждому значению x соответствует такое же значение y: точки (-2;-2), (0;0), (2;2) лежат на одной прямой. Проведите через две из них линию и проверьте по третьей.
Это нечётная степенная функция, поэтому её график симметричен относительно начала координат. Но её форма отличается от графиков x³, x⁵ и других нечётных степеней больше единицы: прямая сохраняет один и тот же наклон, а у кривых наклон меняется. Поэтому при классификации полезно сначала проверить, не равен ли показатель единице.
Как выглядит чётная степень
Возьмём y=x⁴. Небольшая таблица даёт:
| x | -2 | -1 | -(1)/(2) | 0 | (1)/(2) | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y=x⁴ | 16 | 1 | (1)/(16) | 0 | (1)/(16) | 1 | 16 |
Одинаковые значения для x и -x дают симметрию относительно оси y. График подходит к точке (0;0) слева, достигает там наименьшего значения и поднимается справа. Все значения y неотрицательны.
По правой ветви при движении вправо значения растут. По левой ветви при движении вправо, от больших отрицательных x к нулю, значения убывают. Слово «растёт» без указания направления может запутать: у чётной степени две ветви ведут себя по-разному, если читать график слева направо.
Для y=x², y=x⁴, y=x⁶ общими будут точки (-1;1), (0;0), (1;1). При 0 < |x| < 1 более высокая чётная степень даёт меньшую положительную высоту; при x = 0 обе равны нулю: ((1)/(2))⁴=(1)/(16), тогда как ((1)/(2))²=(1)/(4). За пределами этого промежутка, например при x=2, более высокая степень растёт быстрее: 2⁴=16, 2²=4. Это помогает не рисовать все чётные степени одной и той же кривой.
Как выглядит нечётная степень больше единицы
Для y=x³ возьмём те же аргументы:
| x | -2 | -1 | -(1)/(2) | 0 | (1)/(2) | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y=x³ | -8 | -1 | -(1)/(8) | 0 | (1)/(8) | 1 | 8 |
Отрицательные x дают отрицательные y; положительные — положительные. Точка (a;b) на графике имеет пару (-a;-b). Это и есть симметрия относительно начала координат.
Если читать график слева направо, x³ возрастает на всей числовой прямой: чем больше x, тем больше x³. Вблизи нуля кривая идёт положе, а при больших по модулю значениях x поднимается или опускается круче. У x⁵ те же основные признаки, но между 0 и 1 значения ближе к оси x, а при x>1 становятся больше, чем у x³.
График нечётной степени проходит через начало координат и продолжается из третьей четверти в первую. Соединять точки двумя отдельными ветвями, оставляя разрыв в нуле, не нужно: функция определена и при x=0.
Как построить график без лишних вычислений
Сначала запишите показатель и определите его чётность. Если n=1, проведите прямую y=x. Для остальных показателей отметьте три опорные точки: (0;0), (1;1) и (-1;1) либо (-1;-1).
Затем добавьте точку внутри промежутка от 0 до 1, например при x=(1)/(2), и точку правее 1, например при x=2. Они покажут, насколько график близок к оси у нуля и как быстро поднимается дальше. При большом n значение 2ⁿ может не помещаться на выбранном листе; тогда возьмите меньший положительный аргумент или измените масштаб оси y, сохранив равные деления на каждой оси.
После расчёта положительных x используйте симметрию для отрицательных: у чётного показателя отражайте точки относительно оси y, у нечётного — относительно начала координат. Соедините точки плавной непрерывной линией. Соединять их ломаной полезно лишь как черновой набросок: между вычисленными значениями функция тоже определена.
Если вычисления делаются для домашней работы, проговорите проверку знака и скобок: «минус два в четвёртой степени — плюс шестнадцать». Такой способ самопроверки подробнее разобран в статье «Считает вслух — находит ошибку сам».
Что проверить у готового рисунка
У чётной степени нет точек ниже оси x, а левая и правая части зеркальны. У нечётной степени отрицательные значения находятся слева от начала координат, положительные — справа; график всё время идёт вверх при движении слева направо. Любой график xⁿ должен проходить через (0;0) и (1;1).
Если одна из этих проверок не проходит, сначала пересчитайте табличные значения. Часто проблема не в форме линии, а в знаке отрицательного числа или в том, что на одной из осей нарушили выбранный масштаб делений. Привычка проверять число по смыслу, а не только по записи, встречается и в повседневных задачах из статьи «Пятнадцать раз в день — и всё математика, которую никто не замечает».
Частые вопросы
Почему для x⁴ и x² нельзя ограничиться точками -1, 0 и 1?
В этих точках значения совпадают, хотя графики различны. Добавьте хотя бы одну точку при 0
Можно ли построить левую часть графика без новой таблицы?
Да. Для чётного показателя отразите рассчитанную правую часть относительно оси y. Для нечётного перенесите каждую точку (x;y) в (-x;-y), то есть отразите относительно начала координат.
Почему у чётной степени график не пересекает ось x ещё где-то?
Положительная целая степень равна нулю только тогда, когда основание степени равно нулю. Поэтому xⁿ=0 имеет единственное решение x=0.
Как не перепутать y=xⁿ с другой записью степени?
В этой функции показатель n выбран заранее и не меняется, а по горизонтальной оси меняется основание x. При построении одной кривой всю таблицу считайте с одним и тем же показателем.