Квадратное уравнение удобно решать в одном порядке: привести к виду ax² + bx + c = 0, найти коэффициенты, вычислить дискриминант, получить корни и подставить их в исходное уравнение. Ниже каждый шаг показан на примере, а затем закреплён упражнениями с ответами.
Главное при самостоятельной работе — записывать промежуточные числа. Если ответ не сошёлся, по записи можно понять, где появилась ошибка: при переносе слагаемых, вычислении дискриминанта или подстановке корня.
Сначала приведите уравнение к привычному виду
В записи ax² + bx + c = 0 буква a обозначает число перед x², b — число перед x, c — число без x. Для квадратного уравнения a не равно нулю. Коэффициент может быть отрицательным, а какое-то из слагаемых может отсутствовать.
Например, в уравнении 2x² − 7x + 3 = 0 коэффициенты такие: a = 2, b = −7, c = 3. Знак минус перед семёркой относится к b. В уравнении x² − 9 = 0 имеем a = 1, b = 0, c = −9: слагаемого с x нет, но место для его коэффициента остаётся.
Если справа стоит число, сначала перенесите всё влево. В записи x² + 2x = 3 получается x² + 2x − 3 = 0, поэтому c = −3. Если слагаемое с x² стоит справа, перенос меняет и его знак: из 5x + 6 = x² выходит −x² + 5x + 6 = 0. Можно затем умножить обе части на −1 и получить x² − 5x − 6 = 0. Для решения подходит любой из этих двух вариантов, если коэффициенты взяты из выбранной записи.
Короткая разминка. Выпишите a, b и c для трёх уравнений:
- 3x² + x − 4 = 0.
- 7 − 2x² = 0.
- x² = 4x + 5.
Ответы: в первом a = 3, b = 1, c = −4; во втором a = −2, b = 0, c = 7; в третьем после переноса x² − 4x − 5 = 0, значит a = 1, b = −4, c = −5. Здесь полезно проверить не только числа, но и запись, из которой они получены.
Вычислите дискриминант и определите число корней
Дискриминант обозначают D и считают так: D = b² − 4ac. Возведение отрицательного b в квадрат даёт положительное число: если b = −7, то b² = 49. А в произведении 4ac знаки коэффициентов сохраняются.
Знак D подсказывает, сколько у квадратного уравнения действительных корней:
- если D больше нуля, корня два;
- если D равен нулю, корень один;
- если D меньше нуля, действительных корней нет.
Возьмём 2x² − 7x + 3 = 0. Здесь D = (−7)² − 4 · 2 · 3 = 49 − 24 = 25. Дискриминант положительный, поэтому ищем два корня. Их записывают по формулам x₁ = (−b + √D) / (2a) и x₂ = (−b − √D) / (2a). Получаем x₁ = (7 + 5) / 4 = 3, x₂ = (7 − 5) / 4 = 1/2.
Перед вычислением корней полезно отдельно записать −b и 2a. В этом примере −b = 7, 2a = 4. Так меньше шансов потерять минус или разделить на 2 вместо 4.
Если извлечение корня из числа под знаком √ пока вызывает затруднение, поможет статья «Квадратный корень: как объяснить ребёнку обратную проверку». Для упражнения выше достаточно заметить, что 5² = 25, значит √25 = 5.
Подставьте корни в исходное уравнение
Проверка нужна даже тогда, когда дискриминант посчитан верно: ошибка может появиться при делении или выборе знака в формуле. Подставляйте каждый найденный корень именно в условие, которое было дано, особенно если перед решением переносили слагаемые.
Для 2x² − 7x + 3 = 0 при x = 3 левая часть равна 2 · 3² − 7 · 3 + 3 = 18 − 21 + 3 = 0. При x = 1/2 получаем 2 · (1/2)² − 7 · (1/2) + 3 = 1/2 − 7/2 + 3 = −3 + 3 = 0. Оба числа подходят.
Проверка также показывает, почему нельзя просто выписать красивый ответ по памяти. Уравнения x² − 5x + 6 = 0 и x² + 5x + 6 = 0 похожи, но их корни различаются знаком. Подстановка быстро обнаружит такую путаницу.
Упражнение 1. Два целых корня
Решите x² − 5x + 6 = 0 и проверьте ответ.
Здесь a = 1, b = −5, c = 6. Дискриминант D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1. Тогда x₁ = (5 + 1) / 2 = 3, x₂ = (5 − 1) / 2 = 2.
Проверяем: при x = 3 получаем 9 − 15 + 6 = 0; при x = 2 получаем 4 − 10 + 6 = 0. Ответ: 2 и 3. Если вышли −2 и −3, вернитесь к вычислению −b: при b = −5 число −b равно 5.
Упражнение 2. Корни с разными знаками
Решите 3x² + 2x − 1 = 0.
Коэффициенты: a = 3, b = 2, c = −1. Дискриминант D = 2² − 4 · 3 · (−1) = 4 + 12 = 16. Значит, x₁ = (−2 + 4) / 6 = 1/3, x₂ = (−2 − 4) / 6 = −1.
Для x = 1/3 левая часть равна 3 · (1/3)² + 2 · (1/3) − 1 = 1/3 + 2/3 − 1 = 0. Для x = −1 получаем 3 · 1 − 2 − 1 = 0. Ответ: −1 и 1/3. Если дискриминант получился отрицательным, проверьте произведение 4ac: здесь c отрицателен, поэтому из 4 вычитается отрицательное число.
Упражнение 3. Один корень
Решите 4x² − 12x + 9 = 0.
D = (−12)² − 4 · 4 · 9 = 144 − 144 = 0. При нулевом дискриминанте оба знака в формуле дают одно и то же число: x = 12 / 8 = 3/2.
Проверка: 4 · (3/2)² − 12 · (3/2) + 9 = 9 − 18 + 9 = 0. Ответ: 3/2. Не записывайте его дважды: это одно значение x, хотя две формулы совпали.
Упражнение 4. Действительных корней нет
Решите x² + 2x + 5 = 0.
Здесь D = 2² − 4 · 1 · 5 = 4 − 20 = −16. Квадрат действительного числа не бывает отрицательным, поэтому в этой задаче действительных корней нет. Ответ: действительных корней нет. Подбирать числа наугад после такого вычисления не нужно; сначала убедитесь, что a, b и c выписаны верно.
Упражнение 5. Сначала перенесите слагаемые
Решите x² + 3x = 10.
После переноса получаем x² + 3x − 10 = 0. Теперь a = 1, b = 3, c = −10. D = 3² − 4 · 1 · (−10) = 9 + 40 = 49. Корни: x₁ = (−3 + 7) / 2 = 2, x₂ = (−3 − 7) / 2 = −5.
Проверяем в исходной записи: при x = 2 имеем 2² + 3 · 2 = 4 + 6 = 10; при x = −5 имеем (−5)² + 3 · (−5) = 25 − 15 = 10. Ответ: −5 и 2. Если проверять только преобразованную запись, легко не заметить ошибку, сделанную при переносе.
Упражнение 6. Отсутствует слагаемое с x
Решите 2x² − 18 = 0 через дискриминант.
В этой задаче b = 0. Считаем D = 0² − 4 · 2 · (−18) = 144, √D = 12. Тогда x₁ = (0 + 12) / 4 = 3, x₂ = (0 − 12) / 4 = −3.
Подстановка даёт для обоих чисел 2 · 9 − 18 = 0. Ответ: −3 и 3. Нулевой коэффициент b не означает нулевой дискриминант: во второй части формулы остаются a и c.
Упражнение 7. Корень не целый
Решите 2x² + 3x − 2 = 0.
D = 3² − 4 · 2 · (−2) = 9 + 16 = 25. Получаем x₁ = (−3 + 5) / 4 = 1/2 и x₂ = (−3 − 5) / 4 = −2.
Проверка первого корня: 2 · (1/2)² + 3 · (1/2) − 2 = 1/2 + 3/2 − 2 = 0. Проверка второго: 2 · 4 + 3 · (−2) − 2 = 8 − 6 − 2 = 0. Ответ: −2 и 1/2. Дробный корень здесь так же полноценен, как целый: округлять его не требуется.
Как найти собственную ошибку
Если ответы не совпадают с проверкой, двигайтесь назад по записи. Сначала пересчитайте подстановку, затем деление в формуле корней, после этого √D и сам дискриминант. Последним проверьте перенос слагаемых. Такой порядок экономит время: ошибка часто находится в одном действии, и решать всё уравнение заново не приходится.
Для тренировки можно закрыть разборы упражнений 5–7 и решить их самостоятельно. На листе оставьте четыре строки: исходное уравнение, a/b/c, дискриминант и корни, проверка. Когда запись станет привычной, те же шаги можно выполнять компактнее, сохраняя возможность проверить ответ.
Частые вопросы
Можно ли менять местами x₁ и x₂?
Да. Номера только различают два найденных корня. Для уравнения важно, какие значения получились, а не в каком порядке они записаны.
Что делать, если √D не является целым числом?
Оставьте корень в точной записи. Например, если D = 5, в формуле будет √5. Десятичное приближение используйте лишь тогда, когда оно требуется в условии.
Нужно ли раскрывать скобки перед решением?
Да, если скобки мешают увидеть вид ax² + bx + c = 0. После раскрытия приведите подобные слагаемые и только затем определяйте коэффициенты.
Как проверить ответ, если в условии были дроби?
Подставьте найденное значение в исходное уравнение и аккуратно приведите обе части к общему знаменателю. Совпадение левой и правой частей подтверждает корень.