При умножении двух чисел с разными знаками получается отрицательное число, а при умножении двух отрицательных — положительное. Поэтому (−4) × 3 = −12, но (−4) × (−3) = 12. Числа 4 и 3 в обоих случаях дают 12; отдельно выбирается знак результата.
Если множителей больше двух, считайте отрицательные множители. Их чётное количество даёт положительное произведение, нечётное — отрицательное. Есть одно условие, которое проверяют первым: если среди множителей есть ноль, всё произведение равно нулю.
Отделите знак от вычисления
Школьнику проще решать пример в два шага. Сначала определить знак, затем перемножить числа без знаков. Для (−7) × 5 знак будет «минус», потому что множители разных знаков. Числовая часть: 7 × 5 = 35. Получаем −35.
Проверим все четыре сочетания на одинаковых числах:
| Множители | Знак результата | Произведение |
|---|---|---|
| 7 × 5 | положительный | 35 |
| (−7) × 5 | отрицательный | −35 |
| 7 × (−5) | отрицательный | −35 |
| (−7) × (−5) | положительный | 35 |
Скобки здесь нужны для чтения записи: они показывают, что знак минус принадлежит множителю. Знак × означает действие умножения. В обычной тетради вместо × может стоять точка, например (−7) · (−5) = 35; правило от этого не меняется.
Если само умножение положительных чисел ещё вызывает вопросы, поможет разбор на предметах в статье «Как объяснить второкласснику умножение на предметах и рисунках». Для примеров с отрицательными числами к знакомому произведению добавляется выбор знака.
Почему два минуса дают плюс
Правило можно увидеть на последовательности равных шагов. Возьмём число −3 и будем каждый раз уменьшать второй множитель на единицу:
- (−3) × 3 = −9;
- (−3) × 2 = −6;
- (−3) × 1 = −3;
- (−3) × 0 = 0.
Результаты каждый раз увеличиваются на 3: −9, −6, −3, 0. Если продолжить тот же порядок при втором множителе −1, получится 3. Значит, (−3) × (−1) = 3; при втором множителе −2 получится 6.
Это способ понять правило, а не дополнительное действие для каждого примера. В вычислениях достаточно определить знаки множителей и найти произведение их числовых частей. Например, (−8) × (−6): оба множителя отрицательные, 8 × 6 = 48, ответ 48.
Важно не переносить правило «два минуса дают плюс» на любую запись с двумя знаками минус. Оно относится здесь именно к умножению двух отрицательных множителей. В записи −8 − 6 выполняется вычитание, и её результат −14.
Сначала проверьте, нет ли нуля
Ноль делает произведение равным нулю независимо от других знаков: (−9) × 0 = 0 и 0 × (−9) × (−2) = 0. Знак результата в таких примерах выбирать не нужно.
Проверка нуля особенно экономит время в длинной записи. Например, (−4) × 7 × 0 × (−5) = 0. Здесь не требуется сначала умножать −4 на 7 или считать отрицательные множители. Достаточно увидеть нулевой множитель.
Не путайте ноль с отрицательным числом. Запись −0 не обозначает отдельное отрицательное число: это тот же 0. Если вычисление дало ноль, ответ записывают без минуса.
Перемножьте несколько множителей
У длинного произведения два удобных способа решения. Первый — идти слева направо, сохраняя промежуточные результаты. Второй — сначала определить знак по числу отрицательных множителей, а потом умножить числовые части. Оба способа должны дать одно и то же.
Возьмём (−2) × 3 × (−4). При последовательном вычислении: (−2) × 3 = −6, затем (−6) × (−4) = 24. По количеству знаков: отрицательных множителей два, значит ответ положительный; 2 × 3 × 4 = 24.
Теперь (−2) × (−3) × (−4). Отрицательных множителей три, поэтому результат отрицательный. Числовая часть 2 × 3 × 4 = 24. Ответ −24. При вычислении слева направо получаем 6 × (−4) = −24.
Можно мысленно объединять отрицательные множители в пары. Каждая пара даёт положительный результат. Если один отрицательный множитель остался без пары, итоговый знак будет минус. Это помогает, когда отрицательных множителей много, но перед подсчётом всё равно проверьте наличие нуля.
Например, в произведении (−1) × 5 × (−2) × (−3) отрицательных множителей три. Итог отрицательный, а числовая часть равна 1 × 5 × 2 × 3 = 30. Ответ −30.
Следите за скобками и порядком действий
В выражении с разными действиями сначала вычисляют скобки, затем умножение, а сложение или вычитание выполняют после него. Отрицательный множитель при этом лучше заключать в скобки, чтобы запись читалась однозначно.
Разберём 6 + (−2) × 5. Сначала произведение: (−2) × 5 = −10. Затем сумма: 6 + (−10) = −4. Если сначала сложить 6 и −2, получится ответ к другому выражению.
Скобки меняют порядок: (6 + (−2)) × 5 = 4 × 5 = 20. Здесь число 5 умножают на значение всей скобки, а не только на −2.
Ещё пример: (−3) × (4 − 7). Сначала 4 − 7 = −3. Затем (−3) × (−3) = 9. Нельзя выбрать знак произведения, пока неизвестно значение скобок: именно оно становится вторым множителем.
В записи −3² и (−3)² скобки также важны. (−3)² означает (−3) × (−3) = 9. А −3² означает число, противоположное 3², то есть −9. Если нужно возвести в квадрат именно отрицательное число, заключите его в скобки.
Найдите и исправьте типичные ошибки
«Два минуса есть, значит ответ положительный». Посмотрите, сколько отрицательных множителей в выражении. В (−2) × (−3) × (−4) их три, поэтому ответ −24, хотя рядом встречаются пары минусов.
«Знак определён, числовую часть можно считать на глаз». После выбора знака выполните обычное умножение отдельно. Для (−6) × (−7) знак положительный, а 6 × 7 = 42. Ответ 42, а не 36 и не 49.
«Ноль можно оставить на конец». В произведении 8 × (−2) × 0 результат сразу 0. Подсчёт минусов здесь только добавляет лишнюю работу и может привести к записи «−0».
«Скобку можно пропустить». Сравните (−5) × (2 + 3) = (−5) × 5 = −25 и (−5) × 2 + 3 = −10 + 3 = −7. Это разные выражения, поэтому сначала точно прочитайте, что входит в скобку.
Задания для самостоятельной проверки
Решите примеры без подсказки, а затем сравните каждый шаг.
- (−8) × 4
- (−9) × (−6)
- 5 × (−7) × (−2)
- (−3) × (−2) × (−5)
- (−4) × 0 × (−8)
- (−2) × (3 + 5)
- 4 + (−3) × 6
- (−1) × (−2) × (−3) × (−4)
Ответы
- Разные знаки; 8 × 4 = 32. Ответ −32.
- Оба множителя отрицательные; 9 × 6 = 54. Ответ 54.
- Два отрицательных множителя; 5 × 7 × 2 = 70. Ответ 70.
- Три отрицательных множителя; 3 × 2 × 5 = 30. Ответ −30.
- Есть нулевой множитель. Ответ 0.
- В скобках 3 + 5 = 8; (−2) × 8 = −16.
- Сначала (−3) × 6 = −18; затем 4 + (−18) = −14.
- Четыре отрицательных множителя; 1 × 2 × 3 × 4 = 24. Ответ 24.
При расхождении отметьте, на каком шаге оно возникло: при чтении скобок, выборе знака или обычном умножении. Один и тот же неверный ответ может получиться по разным причинам.
Частые вопросы
Влияет ли порядок множителей на ответ?
Нет. Например, (−4) × 3 и 3 × (−4) равны −12. Множители можно переставить и в более длинном произведении. При этом удобно поставить рядом отрицательные числа, чтобы легче посчитать их количество.
Как умножить отрицательное число на единицу?
Умножение на 1 сохраняет число: (−7) × 1 = −7. Умножение на −1 даёт противоположное число: (−7) × (−1) = 7.
Можно ли проверять произведение делением?
Если один из множителей не равен нулю, можно разделить произведение на него и получить другой множитель. Например, (−6) × (−4) = 24; проверка: 24 ÷ (−4) = −6. При нулевом множителе делить на ноль нельзя.