Если в уравнении встречаются x⁴, x² и числа, попробуйте заменить x² новой переменной t. Тогда x⁴ станет t², и выражение превратится в обычное квадратное уравнение. После его решения нужно вернуться к x: каждому положительному t соответствуют два значения x, нулю — одно, а отрицательному t не соответствует ни одного действительного x.
Порядок работы такой: записать замену и условие t ≥ 0, решить уравнение относительно t, отобрать допустимые значения, затем решить x² = t и проверить ответы в исходном уравнении. Последняя проверка особенно нужна, если в записи есть знаменатель.
Узнайте подходящую форму
Начнём с уравнения x⁴ − 5x² + 4 = 0. Здесь x⁴ = (x²)². Если обозначить x² через t, получим t² − 5t + 4 = 0. Это квадратное уравнение, для которого подходят привычные способы решения.
Такой вид часто называют биквадратным. Узнать его можно по степеням: при x⁴ и x² нет отдельных членов с x³ или x. Коэффициент при x² иногда равен нулю, например в x⁴ − 16 = 0; замена всё равно возможна.
Не всякое уравнение с x⁴ автоматически становится квадратным после этой замены. Например, в x⁴ + x − 2 = 0 член x остаётся, и одного t = x² недостаточно, чтобы выразить всё уравнение через t. Перед вычислениями проверьте, что после замены старой переменной в записи не осталось.
Если обе стороны уравнения содержат степени x, сначала соберите все члены с одной стороны и приведите подобные. Например, x⁴ + 2 = 3x² превращается в x⁴ − 3x² + 2 = 0. Теперь структура видна сразу.
Решите квадратное уравнение для t
Вернёмся к x⁴ − 5x² + 4 = 0. Запишите замену отдельно:
> t = x², поэтому t ≥ 0.
После замены получаем t² − 5t + 4 = 0. Это выражение раскладывается на множители: (t − 1)(t − 4) = 0. Следовательно, t = 1 или t = 4. Оба числа удовлетворяют условию t ≥ 0.
Возвращаемся к старой переменной. Из x² = 1 получаем x = −1 и x = 1. Из x² = 4 — x = −2 и x = 2. Ответ: −2, −1, 1, 2.
Можно проверить подстановкой по группам. Для x = ±1 имеем x² = 1 и x⁴ = 1, значит 1 − 5 + 4 = 0. Для x = ±2 имеем x² = 4 и x⁴ = 16, значит 16 − 20 + 4 = 0. Знаки у пар различаются, но чётные степени дают одинаковые значения.
Если квадратное уравнение не раскладывается на множители сразу, используйте дискриминант или другой знакомый способ. Замена меняет вид задачи, но не требует нового правила для самого квадратного уравнения.
Отбросьте отрицательное t до возвращения к x
Рассмотрим x⁴ + 3x² − 4 = 0. После замены выходит t² + 3t − 4 = 0, или (t + 4)(t − 1) = 0. Формально у квадратного уравнения два корня: t = −4 и t = 1.
Но t обозначает x², а квадрат действительного числа неотрицателен. Поэтому t = −4 не даёт действительных решений исходного уравнения. Остаётся x² = 1, откуда x = −1 или x = 1. Подстановка подтверждает: 1 + 3 − 4 = 0.
Здесь полезно не писать «x = ±√−4». Знак ± используют только после того, как установлено, что справа от x² стоит положительное число. Если справа нуль, решение одно: x = 0.
Например, x⁴ − 4x² = 0 превращается в t² − 4t = 0. Получаем t(t − 4) = 0, то есть t = 0 или t = 4. При t = 0 выходит x = 0; при t = 4 — x = −2 и x = 2. Ответ содержит три разных числа. Не записывайте нуль дважды как «плюс нуль» и «минус нуль».
Следите за условиями, если есть знаменатель
Уравнение может выглядеть как дробь, числитель которой подходит для замены. Возьмём пример:
> (x⁴ − 5x² + 4) / (x² − 1) = 0.
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Поэтому сначала запишите ограничение: x² − 1 ≠ 0, то есть x ≠ −1 и x ≠ 1.
Числитель уже знаком: замена t = x² даёт t² − 5t + 4 = 0. Отсюда t = 1 или t = 4. Возврат к x даёт кандидатов −1, 1, −2, 2. Но первые два обращают знаменатель в нуль и не подходят. Остаются x = −2 и x = 2.
Проверьте один из оставшихся ответов: при x = 2 числитель равен 16 − 20 + 4 = 0, знаменатель равен 4 − 1 = 3. Дробь определена и равна нулю. Для x = −2 значения чётных степеней те же.
Если сократить дробь на x² − 1 до записи ограничения, можно потерять сведения о запрещённых x. Поэтому фиксируйте значения, при которых знаменатель равен нулю, в самом начале. После преобразований они всё равно остаются запрещёнными.
Оформите решение так, чтобы не потерять корни
Одна короткая цепочка помогает удержать весь ход рассуждения:
> x⁴ − 5x² + 4 = 0
> t = x², t ≥ 0
> t² − 5t + 4 = 0
> t = 1 или t = 4
> x² = 1 или x² = 4
> x = −1, 1, −2, 2.
Строка «t ≥ 0» нужна не для красоты. Она напоминает, почему отрицательный корень квадратного уравнения иногда приходится отбросить. А отдельная строка с x² = t не даёт принять найденные значения t за окончательный ответ.
При проверке читайте решение вслух по действиям: «Заменил x² на t; получил два t; вернулся к x; сверил с ограничениями». Такой способ помогает заметить пропущенную пару корней. О том, как использовать проговаривание для поиска вычислительной ошибки в домашней работе, рассказано в статье «Считает вслух — находит ошибку сам: приём для домашки по математике».
Для тренировки самой идеи замены попробуйте x⁴ − 10x² + 9 = 0. После t = x² получится t² − 10t + 9 = 0, откуда t = 1 или t = 9. Значит, x = −1, 1, −3, 3. Проверьте, что каждое число подходит, и сравните запись с предыдущим примером: порядок действий одинаковый, меняются только вычисления. Дополнительные повседневные поводы потренировать внимательное чтение чисел собраны в статье «Пятнадцать раз в день — и всё математика, которую никто не замечает».
Частые вопросы
Почему при положительном t получаются два корня x?
Потому что квадрат положительного и отрицательного числа с одинаковым модулем равен одному и тому же t. Например, при t = 9 подходят и x = 3, и x = −3: оба дают x² = 9.
Что делать, если квадратное уравнение для t не имеет действительных корней?
Тогда исходное уравнение тоже не имеет действительных корней: ни одно действительное значение x не сможет дать нужное t. Если корни t есть, их всё равно нужно проверить условием t ≥ 0.
Можно ли сразу заменить x⁴ на t?
Можно выбрать другую замену лишь тогда, когда всё уравнение после неё выражается через одну новую переменную и возврат к x понятен. Для формы с x⁴ и x² замена t = x² проще: x⁴ сразу становится t².
Зачем подставлять ответ в исходное уравнение?
Подстановка показывает, не появился ли лишний корень после преобразований и не забыто ли ограничение знаменателя. Она также помогает заметить арифметическую ошибку при решении уравнения для t или при извлечении корня.