Если перед скобками стоит плюс, знаки слагаемых внутри сохраняются: 8 + (x − 3) = 8 + x − 3. Если стоит минус, знак каждого слагаемого внутри меняется на противоположный: 8 − (x − 3) = 8 − x + 3. Упражнения на раскрытие скобок удобно решать в два действия: сначала переписать выражение без скобок, затем привести подобные слагаемые.
Главная проверка — подставить одно и то же число вместо буквы в исходную и полученную записи. Например, при x = 5 выражение 8 − (x − 3) равно 8 − (5 − 3) = 6. Полученная запись 8 − x + 3 тоже даёт 8 − 5 + 3 = 6. Совпадение в одной точке помогает заметить ошибку, но для объяснения правила всё равно нужно показать, как изменились знаки.
Шаг 1. Прочитайте знак перед скобками
Скобки собирают несколько слагаемых в одну часть выражения. Знак перед ними относится ко всей этой части. Сравните две записи:
- 12 + (7 − 4) = 12 + 7 − 4 = 15;
- 12 − (7 − 4) = 12 − 7 + 4 = 9.
Во второй записи вычитается вся разность 7 − 4, то есть 3. Поэтому 12 − 3 = 9. Если оставить знак перед 4 прежним и написать 12 − 7 − 4, получится 1 — другое выражение.
Чтобы не потерять слагаемое, при первом упражнении можно обвести всю скобку и провести от внешнего минуса две короткие стрелки: к 7 и к −4. Это напоминание, что меняются оба знака. Когда действие станет понятным, стрелки не понадобятся.
Шаг 2. Раскройте скобки после плюса
После плюса каждое слагаемое выходит со своим знаком. В записи 6 + (a + 5 − b) получаем 6 + a + 5 − b. Числа 6 и 5 можно объединить: a − b + 11.
Попробуйте три упражнения. Сначала запишите строку без скобок, только потом упрощайте:
- 9 + (x − 4).
- 3 + (2y + 7 − y).
- 15 + (m − 6 + 2).
Ответы:
- 9 + x − 4 = x + 5.
- 3 + 2y + 7 − y = y + 10.
- 15 + m − 6 + 2 = m + 11.
Во втором примере 2y − y = y: складываются слагаемые с одной и той же буквой. В третьем складываются только числа 15, −6 и 2; без значения m прибавлять его к числу нельзя. Если пока трудно видеть подобные слагаемые, подчеркните буквенные одним цветом, числовые другим.
Шаг 3. Раскройте скобки после минуса
Внутри скобок у каждого слагаемого есть знак. У первого он часто не написан: в записи (a − 4 + b) перед a подразумевается плюс. После внешнего минуса получится −a + 4 − b.
Разберите по строкам выражение 10 − (x + 6 − 2x). Сначала меняем все знаки внутри: 10 − x − 6 + 2x. Затем объединяем числа и слагаемые с x: 4 + x. Здесь ошибка «поменять только первый знак» дала бы 10 − x + 6 − 2x и неверный результат.
Теперь решите:
- 14 − (a + 5).
- 20 − (b − 7).
- 8 − (3p + 2 − p).
Ответы:
- 14 − a − 5 = 9 − a.
- 20 − b + 7 = 27 − b.
- 8 − 3p − 2 + p = 6 − 2p.
Третий пример полезно проверить числом p = 2. Исходная запись даёт 8 − (6 + 2 − 2) = 2. Упрощённая запись тоже даёт 6 − 4 = 2. Если ответы не совпали, вернитесь к переходу, на котором убрали скобки.
Шаг 4. Работайте с несколькими скобками по очереди
Когда в строке есть плюс и минус перед разными скобками, рассматривайте каждую отдельно. Например:
18 + (x − 5) − (2x − 3) = 18 + x − 5 − 2x + 3 = 16 − x.
Сначала из первой скобки вышли x и −5 без перемен. Во второй 2x стало −2x, а −3 стало +3. Лишь после этого числа 18, −5 и 3 дали 16, а x − 2x дало −x.
Попробуйте похожие записи:
- 7 + (2a − 1) − (a + 4).
- 25 − (x − 6) + (3x − 2).
- 4 − (2m + 5) − (m − 8).
Ответы:
- 7 + 2a − 1 − a − 4 = a + 2.
- 25 − x + 6 + 3x − 2 = 29 + 2x.
- 4 − 2m − 5 − m + 8 = 7 − 3m.
Не пропускайте среднюю строку, если только учитесь. Она показывает, правильно ли раскрыты скобки. Ошибка в знаке и ошибка при сложении похожих слагаемых тогда видны отдельно.
Шаг 5. Проверьте, равны ли две записи
Иногда задание просит не просто упростить выражение, а определить, верно ли раскрыты скобки. Сначала восстановите правильную запись самостоятельно, затем сравните её с предложенной.
Для 11 − (c − 4) предложен ответ 11 − c − 4. Он неверен: перед скобками минус, значит −4 меняется на +4. Правильно: 11 − c + 4 = 15 − c. При c = 6 исходное выражение равно 11 − (6 − 4) = 9; предложенный ответ даёт 1, а верный — 15 − 6 = 9.
Другой случай: 5 + (2t − 8) записали как 5 + 2t − 8. Это верно; после плюса знаки сохранились. Упрощённый ответ будет 2t − 3. В этой задаче две предложенные строки могут выглядеть по-разному и всё же означать одно число при любом t. Сравнивайте результат преобразования, а не только порядок слагаемых.
Шаг 6. Найдите ошибку в готовом решении
Пусть в тетради записано:
16 − (4x − 7 + x) = 16 − 4x − 7 + x = 9 − 3x.
Первый переход неверен в двух местах. Слагаемое −7 после раскрытия должно стать +7, а +x должно стать −x. Верное решение:
16 − (4x − 7 + x) = 16 − 4x + 7 − x = 23 − 5x.
Проверим при x = 1. Исходное выражение равно 16 − (4 − 7 + 1) = 16 − (−2) = 18. Верный ответ: 23 − 5 = 18. Ошибочный ответ: 9 − 3 = 6.
Разбор ошибки полезен, если назвать конкретный переход: «При раскрытии скобок после минуса не изменились знаки у −7 и +x». Фраза «неправильно посчитал» не помогает исправить следующий пример.
Короткая самостоятельная серия
Решите упражнения без подсказок. После каждого ответа проверьте переход из строки со скобками в строку без них.
- 13 + (q − 9).
- 6 − (r + 4 − 2r).
- 9 + (3k − 2) − (k − 5).
- 30 − (2s − 8) − (s + 6).
Ответы с промежуточными строками:
- 13 + q − 9 = q + 4.
- 6 − r − 4 + 2r = r + 2.
- 9 + 3k − 2 − k + 5 = 12 + 2k.
- 30 − 2s + 8 − s − 6 = 32 − 3s.
Если ошибка повторяется только там, где перед скобками минус, временно не объединяйте подобные слагаемые. Сначала добейтесь верной строки без скобок. Затем отдельно потренируйте вычисления с положительными и отрицательными числами. Для удобных приёмов упрощения числовых выражений пригодится статья «Свойства арифметических действий: как упрощать вычисления».
Частые вопросы
Нужно ли менять знаки, если перед скобками нет символа?
Если выражение начинается со скобок, например (x − 3) + 5, перед ними подразумевается плюс. При раскрытии получится x − 3 + 5. Если перед скобками стоит число или буква без знака действия, это уже другая запись: сначала нужно понять, какое действие задано.
Что делать, если внутри скобок только одно слагаемое?
Правило остаётся тем же. 7 + (−x) = 7 − x, а 7 − (−x) = 7 + x. Второй результат можно проверить при x = 2: 7 − (−2) = 9.
Может ли ответ начинаться с минуса?
Да. Например, 3 − (x + 8) = 3 − x − 8 = −x − 5. Запись −5 − x означает то же самое: порядок слагаемых изменился, их знаки сохранились.
Почему подстановка одного числа не заменяет решение?
Она проверяет только выбранное значение буквы. Если две записи случайно совпали при нём, это ещё не доказывает их равенство при других значениях. Правильность раскрытия скобок показывает переход, в котором учтён знак каждого слагаемого.