Вневписанная окружность треугольника касается одной его стороны и продолжений двух других сторон. Чтобы построить её относительно стороны BC, найдите пересечение внутренней биссектрисы угла A и внешней биссектрисы угла B. Полученная точка — центр. Расстояние от неё до прямой BC — радиус окружности.
У одного треугольника можно построить три вневписанные окружности: по одной для каждой стороны. Поэтому перед началом чертежа важно выбрать сторону касания. Ниже это BC; для другой стороны обозначения вершин придётся поменять.
Где находится окружность
Пусть вершина A расположена над стороной BC. Нужная окружность будет по другую сторону прямой BC — под треугольником. Она коснётся самого отрезка BC, а прямых AB и AC — за вершинами B и C. Поэтому на рисунке надо продлить AB за B и AC за C: иначе две точки касания окажутся за пределами нарисованных линий.
Слово «вневписанная» описывает положение окружности, а не способ построения. Она находится вне треугольника, но остаётся связанной с его сторонами касаниями. Центр тоже лежит вне треугольника. Если полученный центр оказался внутри, построена другая окружность.
Обозначим центр через Iₐ. Индекс напоминает, что окружность выбрана для стороны BC, лежащей напротив вершины A. В тетради индекс необязателен, но при сравнении трёх окружностей он помогает не перепутать центры.
Почему центр ищут на биссектрисах
Любая точка на биссектрисе угла A одинаково удалена от прямых AB и AC. Расстояние до прямой здесь измеряют по перпендикуляру, а не вдоль стороны. Значит, центр окружности, касающейся обеих этих прямых, должен лежать на биссектрисе A.
Теперь рассмотрим вершину B. Центр нужной окружности одинаково удалён от прямых BA и BC. Он находится вне внутреннего угла B, поэтому нужен не внутренний, а внешний угол. Его биссектрису можно получить, продлив BC за B и разделив пополам угол между лучом BA и этим продолжением.
Пересечение двух биссектрис задаёт точку, равноудалённую от трёх прямых: AB, AC и BC. Для проверки можно построить ещё и внешнюю биссектрису при C. Она должна пройти через тот же центр. Если линии заметно расходятся, стоит проверить, какой угол при B или C был разделён пополам.
Как построить центр циркулем и линейкой
Сначала нарисуйте треугольник ABC так, чтобы вокруг него оставалось место. Вневписанная окружность иногда выходит далеко за его пределы. Продлите AB за B, AC за C и BC за обе вершины.
Постройте внутреннюю биссектрису угла A. Поставьте иглу циркуля в A и проведите дугу, пересекающую стороны AB и AC. Из двух точек пересечения проведите дуги одинакового радиуса внутри угла. Соедините A с точкой, где эти дуги встретились. Полученную прямую продолжите за BC.
Для внешней биссектрисы при B используйте луч BA и продолжение BC за B. Отметьте на этих лучах точки на одинаковом расстоянии от B. Из отмеченных точек проведите дуги одинакового радиуса до их пересечения во внешнем угле. Прямая через B и пересечение дуг — внешняя биссектриса. Продлите её в обе стороны. Вторая половина этой прямой встретит продолженную биссектрису A под стороной BC. Отметьте пересечение Iₐ.
Здесь легко ошибиться из-за направления луча: дуги для внешнего угла могут встретиться сбоку от треугольника, тогда как центр окажется на продолжении построенной линии в противоположную сторону. Важна вся прямая биссектрисы.
От центра к окружности
Опустите из Iₐ перпендикуляр на BC. Обозначьте его основание D. Отрезок IₐD — радиус: в точке касания радиус всегда перпендикулярен прямой. Поставьте иглу циркуля в Iₐ, раскройте его до D и проведите окружность.
На аккуратном чертеже D лежит между B и C. Окружность касается BC именно в D, а продолжений AB и AC — в точках за B и C. Если она пересекает одну из прямых в двух местах, проверьте перпендикуляр и положение центра. Небольшой зазор или наложение на бумаге может появиться из-за толщины карандашной линии; для проверки лучше смотреть на построенные перпендикуляры.
Можно проверить радиус без повторного проведения окружности. Опустите из Iₐ перпендикуляры на прямые AB и AC. Все три перпендикуляра должны иметь одинаковую длину. Равенство длин объясняет касания точнее, чем впечатление от рисунка.
Что говорят точки касания
Назовём точку касания на продолжении AB буквой E, а на продолжении AC — F. Из одной точки к окружности можно провести два касательных отрезка одинаковой длины. Для вершины B это BD и BE, для вершины C — CD и CF. Из вершины A касательные отрезки AE и AF тоже равны.
Эти равенства помогают проверить расположение точек. Например, AE проходит через B, поэтому AE = AB + BE. Аналогично AF = AC + CF. Если на чертеже E поставлена между A и B, равенство для всей длины AE уже не соответствует выбранной вневписанной окружности.
Есть и числовая проверка. Если BC = 6, AB = 5 и AC = 5, точка D делит BC пополам: BD = CD = 3. Следовательно, BE = CF = 3, а AE = AF = 8. Равенство касательных можно получить из длин, даже если окружность ещё не нарисована.
При желании положение D находят для любого треугольника. Обозначьте BC через a, AC через b, AB через c, а полупериметр — через s = (a + b + c) / 2. Тогда BD = s − c, CD = s − b. Это удобнее, чем угадывать точку касания по виду треугольника: у неравнобедренного треугольника она обычно не совпадает с серединой BC.
Как отличить три вида окружностей
Вписанная окружность находится внутри треугольника и касается трёх его сторон. Её центр получают пересечением внутренних биссектрис. Для вневписанной относительно BC внутренняя биссектриса нужна только при A; при B и C используются внешние.
Описанная окружность устроена иначе: она проходит через вершины A, B и C. Её центр ищут с помощью серединных перпендикуляров к сторонам. Касание сторон для неё не требуется.
Если трудно запомнить названия, смотрите на действие окружности на чертеже: касается трёх сторон внутри, касается стороны и двух продолжений снаружи или проходит через три вершины. Такой вопрос помогает выбрать нужное построение ещё до работы циркулем.
Если построение не сходится
Центр внутри треугольника обычно означает, что при B была проведена внутренняя биссектриса. Продлите BC за B и разделите пополам внешний угол. Стирать весь чертёж не нужно: биссектриса при A уже подходит.
Если перпендикуляр из центра попадает на продолжение BC, перепроверьте выбранную внешнюю биссектрису и пересечение линий. Для окружности напротив A касание должно приходиться на сам отрезок BC. Помогает сначала отметить эту сторону цветом, а затем провести все нужные продолжения тонкими линиями.
Если окружность касается BC, но не касается AB или AC, измерьте три расстояния от центра до прямых по перпендикулярам. Сравнение длин — задача на геометрию, которую полезно проговорить вслух: в статье «Считает вслух — находит ошибку сам: приём для домашки по математике» описан такой способ поиска ошибки. Здесь можно по порядку назвать, от какой точки и до какой прямой измеряется каждый отрезок.
Для тренировки измерений возьмите треугольник с разными сторонами и сначала вычислите BD и CD по полупериметру. Затем сравните расчёт с чертежом линейкой. Если хочется потренироваться замечать длины и части целого вне тетради, подойдут идеи из статьи «Пятнадцать раз в день — и всё математика, которую никто не замечает». Для самой окружности решающей проверкой всё равно остаются перпендикуляры к трём прямым.
Частые вопросы
Можно ли построить только одну вневписанную окружность?
Да, если в задаче указана сторона касания. Для стороны BC строят окружность напротив A. Всего у треугольника три варианта — по одному напротив каждой вершины.
Обязательно ли продлевать стороны?
Да, для полного чертежа. Окружность напротив A касается прямых AB и AC за вершинами B и C. Без продолжений нельзя отметить эти две точки касания и проверить рисунок.
Почему радиус проводят именно перпендикулярно BC?
Радиус, идущий к точке касания, перпендикулярен касательной. Поэтому основание перпендикуляра из центра на BC сразу даёт точку D, а длина этого отрезка задаёт радиус.
Что делать, если окружность не помещается на листе?
Перенесите треугольник ближе к верхнему краю и уменьшите его, сохранив форму. Сначала найдите центр тонкими линиями: по его положению станет понятно, сколько места нужно для окружности.