В задачах на окружность сначала определите, что требуется найти: длину окружности, радиус или площадь круга. Для длины используют формулу C = 2πr, для площади — S = πr², где r — радиус.
Во всех ответах этого практикума число π остаётся в точной записи, без округления. Сначала разберём четыре задачи на длину, затем найдём площадь по диаметру и по известной длине окружности.
Какие величины не стоит путать
Окружность — граница круга, а круг — часть плоскости, ограниченная окружностью. Длина окружности измеряется в единицах длины, например в сантиметрах; площадь круга — в квадратных сантиметрах. Формулы для этих величин приведены в учебном материале OpenStax.
Радиус r — расстояние от центра до окружности. Диаметр d вдвое больше радиуса: d = 2r. Поэтому, если известен диаметр, сначала можно найти радиус делением на два: r = d / 2.
В формуле S = πr² квадрат относится к радиусу: сначала нужно умножить r на себя, а затем результат на π. Запись 4π см² означает «четыре умножить на π квадратных сантиметров»; это точное выражение, а не требование заменить π десятичным числом.
Разобранные примеры: длина по радиусу
Пример 1. Радиус 3 см
Условие. Радиус окружности 3 см. Найдите её длину, сохранив π в ответе.
Подставляем r = 3 см в формулу длины:
C = 2πr = 2 · π · 3 = 6π см.
Проверка обратным действием: 6π / (2π) = 3 см. Получился радиус из условия.
Ответ: 6π см.
Пример 2. Радиус 5 см
Условие. Радиус окружности 5 см. Найдите её длину, сохранив π в ответе.
Умножаем радиус на 2 и сохраняем множитель π:
C = 2πr = 2 · π · 5 = 10π см.
Проверка: 10π / (2π) = 5 см.
Ответ: 10π см.
Это длина границы, поэтому в ответе стоят сантиметры, а не квадратные сантиметры.
Пример 3. Радиус 7 см
Условие. Радиус окружности 7 см. Найдите её длину, сохранив π в ответе.
Подставляем значение радиуса:
C = 2πr = 2 · π · 7 = 14π см.
Проверка: 14π / (2π) = 7 см.
Ответ: 14π см.
Не возводите 7 в квадрат: для длины окружности в этой формуле радиус умножается на 2π.
Пример 4. Радиус 9 см
Условие. Радиус окружности 9 см. Найдите её длину, сохранив π в ответе.
Вычисляем числовой множитель перед π:
C = 2πr = 2 · π · 9 = 18π см.
Проверка: 18π / (2π) = 9 см.
Ответ: 18π см.
Запись 18π уже содержит множитель π. При проверке делим всё выражение 18π на 2π, а не только число 18 на π.
Как найти площадь по диаметру
Если дан диаметр d, найдите половину этой длины: r = d / 2. Затем возведите найденный радиус в квадрат и умножьте на π:
S = π · (d / 2)².
Например, при подстановке диаметра сначала нужно разделить число на два, а не возводить весь диаметр в квадрат как радиус. Ответ запишите в квадратных единицах. В задачах ниже диаметр дан в сантиметрах, поэтому площадь будет выражена в см².
Проверьте результат в два шага: удвоенный радиус должен равняться данному диаметру, а значение πr² — найденной площади. Так можно отдельно проверить переход от диаметра к радиусу и вычисление площади.
Как найти радиус по длине окружности
Из равенства C = 2πr получаем:
r = C / (2π).
Если длина записана как число, умноженное на π, подставьте всё выражение вместо C. Множитель π в числителе и знаменателе сократится. Найденный радиус используйте в формуле площади S = πr²: для него нужны сантиметры, а для площади — квадратные сантиметры.
Обратная проверка состоит в подстановке радиуса в 2πr. Если получается исходная длина, переход к радиусу выполнен верно; после этого отдельно проверьте квадрат радиуса в формуле площади.
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 1–4 найдите площадь по диаметру. Сохраняйте π в ответе.
- Диаметр круга 8 см. Найдите площадь, сохранив π.
- Диаметр круга 12 см. Найдите площадь, сохранив π.
- Диаметр круга 16 см. Найдите площадь, сохранив π.
- Диаметр круга 20 см. Найдите площадь, сохранив π.
В задачах 5–8 найдите радиус и площадь по длине окружности. Сохраняйте π в ответах для площади.
- Длина окружности 8π см. Найдите радиус и площадь ограниченного ею круга.
- Длина окружности 12π см. Найдите радиус и площадь ограниченного ею круга.
- Длина окружности 16π см. Найдите радиус и площадь ограниченного ею круга.
- Длина окружности 20π см. Найдите радиус и площадь ограниченного ею круга.
Ответы и проверка
1. 16π см². r = 8 / 2 = 4 см; S = π · 4² = 16π см². Проверка диаметра: 2 · 4 = 8 см.
2. 36π см². r = 12 / 2 = 6 см; S = π · 6² = 36π см². Проверка диаметра: 2 · 6 = 12 см.
3. 64π см². r = 16 / 2 = 8 см; S = π · 8² = 64π см². Проверка диаметра: 2 · 8 = 16 см.
4. 100π см². r = 20 / 2 = 10 см; S = π · 10² = 100π см². Проверка диаметра: 2 · 10 = 20 см.
5. r = 4 см; S = 16π см². r = 8π / (2π) = 4 см; S = π · 4² = 16π см². Проверка длины: 2π · 4 = 8π см.
6. r = 6 см; S = 36π см². r = 12π / (2π) = 6 см; S = π · 6² = 36π см². Проверка длины: 2π · 6 = 12π см.
7. r = 8 см; S = 64π см². r = 16π / (2π) = 8 см; S = π · 8² = 64π см². Проверка длины: 2π · 8 = 16π см.
8. r = 10 см; S = 100π см². r = 20π / (2π) = 10 см; S = π · 10² = 100π см². Проверка длины: 2π · 10 = 20π см.
Чтобы ещё раз различить единицы длины и площади, обратитесь к материалу о том, как объяснить ребёнку разницу между периметром и площадью.