В задаче на истину и ложь сначала выпишите, что известно о количестве правдивых высказываний. Затем проверьте каждый возможный ответ: какие фразы станут истинными, какие ложными и выполняется ли условие. Ответ подходит только тогда, когда согласуются все высказывания, а не одно удачное.
Удобно начинать с небольших задач, где вариантов всего два или три. Полный перебор здесь быстрее догадки и помогает увидеть, почему решение единственное. Ниже каждое условие дано целиком до вопроса, а ответы разбирают уже записанные фразы.
Разберите слова «истина» и «ложь» на простом примере
На столе лежит одна карточка: красная или синяя. Мила говорит: «Карточка красная». Олег говорит: «Карточка синяя». Известно, что правду сказал ровно один из них. Какого цвета карточка?
Если карточка красная, фраза Милы истинна, фраза Олега ложна: правдивое высказывание одно. Если карточка синяя, фраза Милы ложна, фраза Олега истинна: правдивое высказывание тоже одно. Условию подходят оба цвета. Значит, по этим данным цвет определить нельзя.
Этот короткий пример важен: совпадение с условием при первой проверке ещё не доказывает единственность ответа. Надо проверить и остальные допустимые варианты. Если подходят два, честный ответ — «определить нельзя». В задачах 1 и 3 получится единственный ответ. Задача 2 специально проверяет, хватает ли подсказок: в ней нужно найти все подходящие варианты.
Задача 1. В какой коробке жетон?
На столе стоят три коробки: А, Б и В. Жетон находится ровно в одной из них. На коробке А написано: «Жетон в коробке Б». На коробке Б: «Жетон в коробке В». На коробке В: «Жетон не в коробке Б». Известно, что ровно две надписи истинны. Где жетон?
Проверим все три места.
| Где жетон | Надпись на А | Надпись на Б | Надпись на В | Сколько истинных |
|---|---|---|---|---|
| А | ложь | ложь | истина | 1 |
| Б | истина | ложь | ложь | 1 |
| В | ложь | истина | истина | 2 |
Условию «ровно две надписи истинны» соответствует только коробка В. Ответ: жетон в коробке В. Обратите внимание, что надпись на коробке В в этом случае истинна: жетон действительно не в Б. Надпись на Б тоже истинна, потому что она прямо указывает на В.
Здесь нельзя решить задачу по одной надписи на В. Она верна и тогда, когда жетон лежит в А. Только подсчёт всех истинных фраз различает эти варианты.
Задача 2. Хватает ли подсказок?
Вера, Глеб и Даша знают, что книгу со стола взял ровно один из них. Вера сказала: «Книгу взял Глеб». Глеб сказал: «Книгу взяла Даша». Даша сказала: «Глеб книгу не брал». Известно, что правду сказал ровно один человек. Можно ли однозначно определить, кто взял книгу? Найдите все подходящие варианты.
Если книгу взяла Вера, её фраза ложна, фраза Глеба ложна, а фраза Даши истинна. Получается один правдивый ответ — вариант подходит.
Если книгу взял Глеб, Вера говорит правду, Глеб говорит неправду, Даша тоже говорит неправду. Снова один правдивый ответ — этот вариант тоже подходит.
Если книгу взяла Даша, Вера говорит неправду, Глеб говорит правду, Даша тоже говорит правду. Получаются два правдивых ответа — вариант не подходит.
В этой задаче подходят Вера и Глеб. Значит, имя определить нельзя. Полный перебор обнаружил два решения. Чтобы получить задачу с единственным ответом, потребуется дополнительное условие в исходном тексте, а не догадка в объяснении. Для дальнейшей тренировки используйте следующую задачу, где все данные уже указаны.
Задача 3. Один участник сказал две фразы
У Антона, Бори и Веры один мяч. Он находится ровно у одного из них. Антон произнёс две фразы: «Мяч у Бори» и «Мяч не у Веры». Боря сказал: «Мяч у Веры». Вера сказала: «Мяч не у Антона». Из этих четырёх фраз истинны ровно две. У кого мяч?
Проверим все варианты. Если мяч у Антона, первая его фраза ложна, вторая истинна, а фразы Бори и Веры ложны. Получается одна истинная фраза — вариант не подходит.
Если мяч у Бори, обе фразы Антона истинны, фраза Бори ложна, фраза Веры истинна. Получаются три истинные фразы — тоже не подходит.
Если мяч у Веры, обе фразы Антона ложны, а фразы Бори и Веры истинны. Получаются ровно две истинные фразы, как и дано в условии.
Ответ: мяч у Веры. Только этот вариант проходит проверку. В отличие от предыдущих задач, здесь считают не правдивых людей, а отдельные высказывания: один человек произнёс сразу две фразы. Выпишите все четыре в отдельные строки, чтобы случайно не посчитать Антона один раз вместо двух.
Как записывать проверку без большой таблицы
Когда вариантов мало, достаточно трёх строк: «Если предмет у первого…», «Если у второго…», «Если у третьего…». В каждой строке отметьте все высказывания буквами И и Л, затем посчитайте буквы И. Таблица удобна, если фразы длинные или легко забыть, кто что сказал.
Главное — не менять смысл фразы между вариантами. Для высказывания «Жетон не в Б» при жетоне в А ответ «истина», и при жетоне в В тоже «истина». Отрицание означает лишь исключение Б, а не указание на какое-то одно другое место.
В задачах, где каждый участник произносит ровно одну фразу, условие «ровно один говорит правду» означает одну истинную фразу. Условие «хотя бы один» допускает одну, две и больше. Эти выражения нельзя заменять друг другом. Если участник говорит несколько фраз, людей и высказывания уже нельзя считать одинаково: в задаче 3 условие прямо задаёт число истинных фраз, а не правдивых участников.
Упражнения для самостоятельного решения
1. В одном из трёх пакетов — красном, синем или зелёном — лежит значок. На красном пакете написано: «Значок в синем». На синем: «Значок в зелёном». На зелёном: «Значок в синем». Известно, что истинна ровно одна надпись. В каком пакете значок?
2. Один из трёх ребят — Аня, Боря или Соня — принёс настольную игру. Аня сказала: «Игру принёс Боря». Боря сказал: «Игру принесла Соня». Соня сказала: «Игру принёс не Боря». Известно, что правду сказали ровно два человека. Кто принёс игру?
3. На полке стоят три закрытые коробки: круглая, квадратная и треугольная. Пуговица лежит ровно в одной из них. Петя сказал: «Пуговица в круглой коробке». Рита сказала: «Пуговица не в круглой коробке». Саша сказал: «Пуговица в квадратной коробке». Известно, что правду сказали ровно два человека. В какой коробке пуговица?
Во всех упражнениях проверьте каждый разрешённый вариант, даже если один уже понравился. Считайте истинные фразы после того, как определили, где находится предмет или кто совершил действие.
Ответы к упражнениям
1. Если значок в красном пакете, все три надписи ложны: истинных ноль. Если в синем, надписи на красном и зелёном истинны, на синем ложна: истинных две. Если в зелёном, надпись на синем истинна, две другие ложны: истинная одна. Ответ: значок в зелёном пакете.
2. Если игру принесла Аня, её фраза ложна, фраза Бори ложна, фраза Сони истинна: одна правда. Если принёс Боря, фраза Ани истинна, фразы Бори и Сони ложны: тоже одна. Если принесла Соня, фраза Ани ложна, а фразы Бори и Сони истинны: две правды. Ответ: игру принесла Соня.
3. Если пуговица в круглой коробке, Петя говорит правду, Рита и Саша — нет: одна правда. Если в квадратной, Петя говорит неправду, Рита и Саша — правду: две. Если в треугольной, Петя говорит неправду, Рита — правду, Саша — неправду: одна. Ответ: пуговица в квадратной коробке.
Что делать, когда условие выглядит запутанным
Перепишите каждое высказывание отдельно и оставьте в нём исходное отрицание. Затем назовите все допустимые варианты ответа. Например, для трёх коробок их ровно три; предположение «жетон где-то ещё» добавлять нельзя, если по условию он находится в одной из них.
Если после полного перебора решений нет, проверьте, не перепутано ли «ровно один» с «один или больше» и не потеряно ли отрицание. Если решений несколько, перечитайте исходное условие: возможно, оно действительно не определяет единственный ответ. Такая проверка полезна и в других нестандартных задачах для детей, где первое правдоподобное предположение ещё нужно подтвердить.
Частые вопросы
Можно ли сразу считать ложное высказывание подсказкой к ответу?
Да, если его ложность уже установлена из условия или проверяемого варианта. Например, ложная фраза «жетон в Б» означает, что жетон не в Б. Но она не сообщает сама по себе, в А он или в В.
Почему нужно перебирать все варианты, когда один уже подошёл?
Первый подходящий вариант доказывает существование решения. Чтобы назвать ответ единственным, нужно исключить остальные. Иногда два разных варианта дают нужное число истинных фраз.
Как быть, если человек произнёс две фразы?
Смотрите, что именно считает условие: правдивых людей или истинные высказывания. Один человек может сказать одну истинную и одну ложную фразу. Если это не оговорено, не заменяйте два отдельных высказывания одним общим ответом.