Чтобы составить уравнение прямой через две разные точки A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), запишите (y − y₁)(x₂ − x₁) = (x − x₁)(y₂ − y₁), а затем упростите. Эта запись удобна тем, что не требует делить на разность координат: она работает и для наклонной, и для горизонтальной, и для вертикальной прямой.
Сначала убедитесь, что точки различны: хотя бы одна пара соответствующих координат должна отличаться. Две различные точки определяют одну прямую, а её уравнению удовлетворяют координаты всех точек этой прямой. Такие исходные свойства и общий вид Ax + By + C = 0 приведены в материале «Уравнение линии на плоскости» Фоксфорда. Ниже разберём, как получить и проверить запись на конкретных координатах.
Составьте уравнение на одной паре точек
Пусть A(−1; 2), B(3; 10). Здесь x₁ = −1, y₁ = 2, x₂ = 3, y₂ = 10. Вычислите изменения координат в одном порядке: x₂ − x₁ = 3 − (−1) = 4; y₂ − y₁ = 10 − 2 = 8.
Подставьте их в формулу без деления:
(y − 2) × 4 = (x − (−1)) × 8.
После раскрытия скобок получаем 4y − 8 = 8x + 8. Переносим слагаемые и делим всю запись на 4: y = 2x + 4. Это искомое уравнение. Его можно представить и в общем виде: 2x − y + 4 = 0.
Теперь подставьте обе исходные точки. Для A правая часть y = 2x + 4 равна 2 × (−1) + 4 = 2; это её координата y. Для B она равна 2 × 3 + 4 = 10. Обе проверки прошли. Подстановка только одной точки слабее: через одну точку проходят разные прямые.
Уравнение позволяет проверить и третью точку, не строя чертёж. Для C(0; 0) получилось бы 0 = 2 × 0 + 4, то есть 0 = 4; точка прямой не принадлежит. Для D(0; 4) получаем 4 = 2 × 0 + 4; эта точка принадлежит прямой. Подставляйте x на место x, а y на место y: порядок координат в паре имеет значение.
Когда удобно перейти к виду y = kx + b
Если x₁ и x₂ не равны, можно найти наклон прямой по формуле k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Затем вычислить b = y₁ − kx₁ и записать y = kx + b. Для пары A(−1; 2), B(3; 10) получаем k = 8 / 4 = 2 и b = 2 − 2 × (−1) = 4. Результат совпадает с найденным выше.
Порядок вычитаний должен быть одинаковым в числителе и знаменателе. Если начать с первой точки, выйдет (y₁ − y₂) / (x₁ − x₂) = (2 − 10) / (−1 − 3) = (−8) / (−4) = 2. Прямая не зависит от того, какую из двух точек вы назвали первой. Ошибка возникает, когда числитель вычли в одном порядке, а знаменатель — в другом: тогда знак k меняется без основания.
Посмотрим на пару E(0; 2), F(4; −4). Разность y₂ − y₁ равна −4 − 2 = −6, а x₂ − x₁ равна 4 − 0 = 4. Поэтому k = −6 / 4 = −3/2 = −1,5. При x = 0 уравнение y = kx + b даёт y = b; из точки E сразу видно b = 2. Ответ: y = −1,5x + 2.
Если нужны целые коэффициенты, перенесите всё в одну сторону и умножьте обе стороны равенства на 2: 3x + 2y − 4 = 0. Проверка для E: 3 × 0 + 2 × 2 − 4 = 0. Для F: 3 × 4 + 2 × (−4) − 4 = 0. Десятичная запятая в числе −1,5 относится к одному числу; координаты точки для ясности разделены точкой с запятой.
Две формы ответа могут выглядеть по-разному, но описывать одну прямую. Например, умножение всех членов 3x + 2y − 4 = 0 на ненулевое число не меняет набор подходящих точек. При сравнении своего ответа с образцом приведите обе записи к одному виду или проверьте преобразование всей записи целиком. Умножать только один член нельзя.
Вертикальная прямая: разность x равна нулю
Возьмём точки P(4; −2) и R(4; 5). Их x-координаты одинаковы, а y-координаты различны. В формуле для k знаменатель x₂ − x₁ равен 4 − 4 = 0, поэтому делить нельзя. Прямая проходит через все точки с x = 4; ответ записывают x = 4.
Можно получить тот же результат из формулы без деления. Подставим координаты: (y − (−2)) × (4 − 4) = (x − 4) × (5 − (−2)). Левая часть равна нулю, справа 7(x − 4). Значит, 0 = 7(x − 4), откуда x = 4.
Проверка занимает одну строку для каждой точки: у P x = 4 и у R x = 4. Координаты y разные, но это не препятствие: на вертикальной прямой они могут меняться. Запись y = kx + b для такой прямой не подходит, поскольку одному x = 4 на ней соответствуют разные значения y.
Если вы уже начали вычислять k и увидели нулевой знаменатель, остановитесь до деления. Это сигнал посмотреть на пару x-координат, а не повод менять местами только некоторые числа в дроби. Перестановка точек даст тот же ноль: 4 − 4.
Горизонтальная прямая: разность y равна нулю
Теперь рассмотрим S(−3; 6) и T(2; 6). Здесь y обеих точек равен 6. Уравнение прямой — y = 6: x может меняться, а y остаётся постоянным.
Проверим общей формулой: (y − 6) × (2 − (−3)) = (x − (−3)) × (6 − 6). Получаем 5(y − 6) = 0, следовательно y = 6. В отличие от вертикального случая, форму y = kx + b здесь тоже можно применить: k = 0 / 5 = 0, b = 6.
Не путайте два случая по слову «одинаковые». Одинаковые x дают x = постоянное, а одинаковые y дают y = постоянное. Быстрая проверка — подставить обе исходные точки в ответ. Если одна не подходит, вероятнее всего, перепутаны координаты или знак.
Совпавшие точки: почему ответа пока нет
Пара (2; 3) и (2; 3) содержит одну и ту же точку дважды. В формуле без деления обе разности станут нулями, и получится 0 = 0. Это равенство верно при любых x и y, поэтому оно не задаёт единственную прямую.
Через точку (2; 3) проходит, например, прямая x = 2. Через неё же проходит y = 3. Обе подходят к единственной заданной точке, но это разные прямые. Значит, по двум совпавшим координатным парам единственное уравнение определить нельзя; для задачи нужна ещё одна отличающаяся точка или другое условие.
Эту проверку лучше выполнить до подстановок и раскрытия скобок. Сравните x₁ с x₂ и y₁ с y₂. Если обе пары равны, дальнейшие вычисления не дадут недостающую информацию. Если равна только одна пара, перед вами обычный вертикальный или горизонтальный случай.
Как проверить и исправить типичные ошибки
Для самостоятельной проверки возьмите точки U(1; 1) и V(5; 3). Разности в одном порядке: x₂ − x₁ = 4, y₂ − y₁ = 2. Значит, k = 2 / 4 = 1/2. Подставляем U в y = kx + b: 1 = (1/2) × 1 + b, поэтому b = 1/2. Получаем y = (1/2)x + 1/2, или после умножения всего уравнения на 2 и переноса — x − 2y + 1 = 0.
Проверьте результат на V: 5 − 2 × 3 + 1 = 0. На U: 1 − 2 × 1 + 1 = 0. Если у вас вышел другой ответ, пройдите по вычислению обратно. Правильно ли записаны пары (x; y)? В одном ли порядке найдены обе разности? Не делили ли вы на ноль? Не потерялся ли знак при раскрытии скобки с отрицательной координатой? Умножили ли вы все члены уравнения при переходе к целым коэффициентам?
Отрицательная координата допустима: она не означает ошибку и не превращается в положительную при подстановке. Например, x − (−1) — это x + 1, а не x − 1. Если трудность возникает ещё до формулы — непонятно, какая запись в паре отвечает за x, а какая за y, — сначала разберите как читать координаты точки на плоскости, затем возвращайтесь к уравнению.
В готовом решении должны быть видны исходные две точки, полученное уравнение и подстановка обеих точек. Для вертикальной и горизонтальной прямой такая проверка столь же полезна, как для наклонной: она сразу показывает, соответствует ли постоянная нужной координате.