Если два участника одновременно вышли из одной точки в противоположных направлениях, расстояние между ними через заданное время равно сумме пройденных ими путей. Короткая запись: d = (v₁ + v₂) × t, где d — расстояние между участниками, v₁ и v₂ — их постоянные скорости, t — время после общего старта.
Формула подходит для задач ниже: участники движутся по одной прямой без остановок, каждый сохраняет свою скорость. Один уходит в одну сторону от начальной точки, другой — в другую. Поэтому пройденные пути складываются. Правило постоянного движения также приведено в открытом учебнике OpenStax; условия и числа нашего практикума — отдельные учебные примеры.
Как перейти от условия к вычислению
Сначала найдите в тексте общую точку старта и убедитесь, что участники вышли одновременно. Затем проверьте направление: они удаляются друг от друга, а не идут следом один за другим. Выпишите обе скорости и время. Если скорости даны в км/ч, а время — в часах, ответ получится в километрах.
Можно рассуждать без заучивания формулы. За указанное время первый участник проходит свой путь, второй — свой. Поскольку они находятся по разные стороны от места старта, от одного до другого нужно пройти оба пути. Запись (v₁ + v₂) × t объединяет эти два вычисления: сначала складываем скорости, затем умножаем сумму на общее время.
В решении полезно оставить не только число, но и единицу измерения. Скорость в км/ч при умножении на часы даёт километры. Если в строке ответа остались «км/ч», значит, записана скорость, а задача спрашивала расстояние. Дальше разберём три условия, а затем можно решить восемь задач самостоятельно.
Пример: время составляет один час
Условие. Два участника одновременно вышли из одной точки в противоположных направлениях по прямой. Их постоянные скорости — 3 и 4 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут через 1 ч?
Оба участника движутся одинаковое время, но с разными скоростями. Через указанный час один окажется по одну сторону от начальной точки, второй — по другую. Значит, между ними окажется весь путь первого участника и весь путь второго. Складываем скорости и умножаем на время:
(3 + 4) × 1 = 7 км.
Ответ: 7 км. Проверить смысл ответа можно по условию: расстояние между участниками включает движение обоих, а не только того, кто шёл быстрее.
Пример: время дано десятичной дробью
Условие. Два участника одновременно вышли из одной точки в противоположных направлениях по прямой. Их постоянные скорости — 4 и 5 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут через 1,5 ч?
Порядок действий не меняется из-за десятичной дроби. Сначала складываем скорости: так получаем, насколько быстро увеличивается расстояние между участниками. После этого учитываем всё время от общего старта:
(4 + 5) × 1,5 = 13,5 км.
Ответ: 13,5 км. Здесь не нужно округлять результат: вычисление уже даёт точное значение для указанных в условии чисел. При самостоятельной записи важно сохранить запятую и в вычислении, и в ответе.
Пример: расстояние растёт всё время движения
Условие. Два участника одновременно вышли из одной точки в противоположных направлениях по прямой. Их постоянные скорости — 5 и 6 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут через 2 ч?
Направления противоположны на всём рассматриваемом участке движения. Участники не поворачивают и не останавливаются, поэтому расстояние между ними продолжает увеличиваться. Используем те же данные, что названы в вопросе: обе скорости и время после старта.
(5 + 6) × 2 = 22 км.
Ответ: 22 км. Для записи решения достаточно этой строки с единицей измерения. Если хочется объяснить её словами, можно сказать: каждый участник добавляет свой пройденный путь к расстоянию между ними.
Самостоятельные задачи
Во всех заданиях ниже участники стартуют одновременно из одной точки, движутся по прямой в противоположных направлениях, сохраняют указанные скорости и не делают остановок. Решите каждую задачу до просмотра ответов. Для самопроверки запишите выражение со скобками, результат и единицу измерения.
1. Два участника одновременно вышли из одной точки в противоположных направлениях по прямой. Их постоянные скорости — 6 и 7 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут через 2,5 ч?
2. Два участника одновременно вышли из одной точки в противоположных направлениях по прямой. Их постоянные скорости — 3 и 8 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут через 3 ч?
3. Два участника одновременно вышли из одной точки в противоположных направлениях по прямой. Их постоянные скорости — 4 и 4 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут через 1 ч?
4. Два участника одновременно вышли из одной точки в противоположных направлениях по прямой. Их постоянные скорости — 5 и 5 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут через 1,5 ч?
5. Два участника одновременно вышли из одной точки в противоположных направлениях по прямой. Их постоянные скорости — 6 и 6 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут через 2 ч?
6. Два участника одновременно вышли из одной точки в противоположных направлениях по прямой. Их постоянные скорости — 3 и 7 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут через 2,5 ч?
7. Два участника одновременно вышли из одной точки в противоположных направлениях по прямой. Их постоянные скорости — 4 и 8 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут через 3 ч?
8. Два участника одновременно вышли из одной точки в противоположных направлениях по прямой. Их постоянные скорости — 5 и 4 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут через 1 ч?
Ответы для проверки
Сверяйте не только итоговое число, но и действие. Правильный ответ, полученный случайно после неверной записи, не поможет решить следующую задачу. В каждой строке ниже показано, какие скорости складываются и на какое время умножается сумма.
- 32,5 км: (6 + 7) × 2,5 = 32,5 км.
- 33 км: (3 + 8) × 3 = 33 км.
- 8 км: (4 + 4) × 1 = 8 км.
- 15 км: (5 + 5) × 1,5 = 15 км.
- 24 км: (6 + 6) × 2 = 24 км.
- 25 км: (3 + 7) × 2,5 = 25 км.
- 36 км: (4 + 8) × 3 = 36 км.
- 9 км: (5 + 4) × 1 = 9 км.
Если число не совпало, возвращайтесь к собственной строке вычислений, а не переписывайте готовый ответ. Посмотрите, обе ли скорости попали в скобки, не потерялось ли время после скобок и верно ли выполнено умножение. Так проще обнаружить место ошибки.
Характерная ошибка: вычесть скорости вместо сложения
Вычитание может показаться заманчивым, если одна скорость больше другой. Но здесь не нужно узнавать, насколько один участник быстрее. Задача спрашивает расстояние между ними. Они идут в разные стороны от общей точки, поэтому путь каждого увеличивает это расстояние.
Проверьте свой способ на разобранном примере со скоростями 3 и 4 км/ч. Если взять только разницу скоростей, получится не весь промежуток между участниками: потеряется путь, пройденный одним из них. Верная строка для данного условия — (3 + 4) × 1 = 7 км. При противоположных направлениях знак «плюс» связан не с тем, какая скорость больше, а с расположением участников по разные стороны старта.
Есть и короткая проверка результата. Когда время положительно и оба участника движутся, расстояние между ними должно быть больше пути каждого по отдельности за то же время. Если полученное число меньше одного из этих путей, проверьте знак действия и умножение. Если же ответ записан в км/ч, замените не единицу «на глаз», а проверьте, довели ли вычисление до расстояния.
Чтобы не переносить это правило на любую задачу о движении, каждый раз читайте направление в условии. В этом практикуме оно одно и то же: общий старт и движение в противоположные стороны. Для повторения связи скорости, пути и времени отдельно пригодится статья «Скорость: как объяснить ребёнку путь и время».