В задачах на встречное движение два участника едут или идут навстречу друг другу, поэтому расстояние между ними уменьшается на сумму пройденных ими путей. Скорость такого уменьшения называют скоростью сближения. Чтобы найти время встречи, начальное расстояние делят на сумму скоростей.
Например, между двумя посёлками 90 км. Навстречу друг другу одновременно выехали два велосипедиста со скоростями 20 и 25 км/ч. За час вместе они сокращают расстояние на 20 + 25 = 45 км. Значит, встретятся через 90 : 45 = 2 часа. Первый проедет 40 км, второй — 50 км; вместе это ровно 90 км.
Начните с короткой записи условия
Запишите начальное расстояние, скорость каждого участника и момент начала движения. Затем уточните, что нужно найти. Встречное направление само по себе ещё не означает, что время движения у обоих одинаково: один участник может выйти позже.
В простой задаче с одновременным стартом короткая запись выглядит так:
- расстояние между пунктами — 84 км;
- скорость первого — 18 км/ч;
- скорость второго — 24 км/ч;
- начали движение одновременно;
- найти время до встречи.
Слово «одновременно» здесь важно. До встречи оба движутся одно и то же число часов. За каждый час первый проходит 18 км от своего пункта, второй — 24 км от своего. Расстояние между ними сокращается на 42 км за час.
Если ребёнок ещё неуверенно связывает путь, скорость и время, сначала разберите статью «Скорость: как объяснить ребёнку путь и время». В задачах на встречу эта связь понадобится несколько раз: для общего времени и для пути каждого участника.
Найдите время встречи
Вернёмся к расстоянию 84 км и скоростям 18 и 24 км/ч. Скорость сближения равна 18 + 24 = 42 км/ч. До встречи пройдёт 84 : 42 = 2 часа.
Проверим по отдельным путям. Первый участник пройдёт 18 × 2 = 36 км, второй — 24 × 2 = 48 км. Их пути заполняют начальное расстояние: 36 + 48 = 84 км.
Эта проверка помогает заметить ошибку в выборе действия. Если разделить 84 км только на скорость первого, получится время, за которое он один преодолел бы все 84 км. В задаче же ему навстречу движется второй участник.
Можно представить оставшееся расстояние по часам. В начале оно равно 84 км, через час — 84 − 42 = 42 км, ещё через час — нулю. Такой счёт полезен как объяснение, когда деление на сумму скоростей кажется неожиданным.
Найдите расстояние, если известно время встречи
Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из разных пунктов. Скорости — 4 и 5 км/ч. Они встретились через 3 часа. Сколько километров было между пунктами?
За час расстояние между ними уменьшается на 4 + 5 = 9 км. За 3 часа оно уменьшится на 9 × 3 = 27 км. Значит, начальное расстояние — 27 км.
Проверим через путь каждого: первый прошёл 4 × 3 = 12 км, второй — 5 × 3 = 15 км. Всего 12 + 15 = 27 км.
Если в вопросе просят путь только одного пешехода, не останавливайтесь на 27 км. Общий путь между пунктами и путь отдельного участника — разные величины. У первого здесь ответ 12 км, у второго — 15 км.
В задачах удобно подписывать единицы рядом с каждым результатом. Сумма двух скоростей измеряется в км/ч, произведение скорости на время — в километрах, а частное расстояния и скорости — в часах.
Если один участник вышел позже
Из двух городов, расстояние между которыми 150 км, сначала выехал велосипедист со скоростью 20 км/ч. Через час навстречу ему из другого города выехал второй велосипедист со скоростью 30 км/ч. Через сколько времени после выезда второго они встретятся?
К моменту второго старта первый уже проехал 20 × 1 = 20 км. Между велосипедистами осталось 150 − 20 = 130 км. С этого момента они сближаются со скоростью 20 + 30 = 50 км/ч. Время от выезда второго до встречи: 130 : 50 = 2,6 часа, то есть 2 часа 36 минут.
Проверка учитывает разное время в пути. Первый ехал 1 + 2,6 = 3,6 часа и прошёл 20 × 3,6 = 72 км. Второй ехал 2,6 часа и прошёл 30 × 2,6 = 78 км. Сумма 72 + 78 = 150 км.
Если ответ нужен от выезда первого, он равен 3 часам 36 минутам. Поэтому перед последним действием перечитайте формулировку вопроса. Числа 2 часа 36 минут и 3 часа 36 минут описывают один момент встречи, но отсчитаны от разных стартов.
Если скорость одного участника неизвестна
Из двух пунктов на расстоянии 96 км одновременно выехали навстречу друг другу два автомобиля. Скорость одного — 40 км/ч. Они встретились через 1 час 12 минут. Найдём скорость второго.
Сначала приведём время к часам: 12 минут — это 12 : 60 = 0,2 часа, значит всё время равно 1,2 часа. Скорость сближения составляет 96 : 1,2 = 80 км/ч. Из неё вычтем известную скорость: 80 − 40 = 40 км/ч.
Проверка: каждый автомобиль за 1,2 часа проедет 40 × 1,2 = 48 км; вместе 96 км. Участники могут двигаться с одинаковой скоростью — это не противоречит условию.
Другой путь — сразу найти расстояние, пройденное первым автомобилем: 40 × 1,2 = 48 км. Второму осталось пройти 96 − 48 = 48 км за то же время, поэтому его скорость равна 48 : 1,2 = 40 км/ч. Оба способа приводят к одному ответу.
Главное здесь — не подставлять 1 час 12 минут как число 1,12. Запись 1,12 часа означает 1 час и 0,12 часа, а 0,12 часа — это 7 минут 12 секунд. Минуты переводят в доли часа делением на 60.
Как проверить задачу без повторного решения
После нахождения времени встречи вычислите путь каждого участника за это время. При одновременном старте сумма путей должна равняться начальному расстоянию. Если один вышел раньше, для него берите полное время в пути, а для второго — время от его старта.
Проверьте также направление ответа. При встречном движении скорость сближения больше скорости каждого участника по отдельности. Значит, время встречи меньше времени, за которое любой один участник преодолел бы всё начальное расстояние.
Эти проверки не требуют нового способа решения. Они связывают найденные числа с сюжетом задачи и помогают обнаружить случайно пропущенный час, неверный перевод минут или ответ не на тот вопрос.
Попробуйте решить самостоятельно
- Между двумя сёлами 72 км. Одновременно навстречу друг другу выехали велосипедисты со скоростями 16 и 20 км/ч. Через сколько часов они встретятся и сколько проедет каждый?
- Два пешехода со скоростями 3 и 4 км/ч вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 2 часа. Каким было начальное расстояние?
- Между пунктами 105 км. Одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Один ехал со скоростью 45 км/ч, встреча произошла через 1 час. Какова скорость второго?
- Между посёлками 100 км. Первый велосипедист выехал со скоростью 15 км/ч, а второй — навстречу ему через 2 часа со скоростью 20 км/ч. Через сколько часов после старта второго произойдёт встреча?
Ответы с объяснением. В первой задаче скорость сближения равна 16 + 20 = 36 км/ч, время — 72 : 36 = 2 часа. Пути равны 32 и 40 км; их сумма — 72 км. Во второй расстояние равно (3 + 4) × 2 = 14 км. В третьей скорость сближения — 105 : 1 = 105 км/ч, скорость второго — 105 − 45 = 60 км/ч; за час автомобили вместе проедут 105 км. В четвёртой до старта второго первый преодолел 15 × 2 = 30 км. Осталось 70 км; скорость сближения равна 15 + 20 = 35 км/ч. Встреча произойдёт через 70 : 35 = 2 часа после старта второго. Первый к тому моменту проедет 60 км за 4 часа, второй — 40 км за 2 часа.
Частые вопросы
Почему при встречном движении скорости складывают?
За одно и то же время каждый участник проходит часть расстояния между ними. Если один проходит за час 4 км, а другой — 5 км, расстояние сокращается за час на 4 + 5 = 9 км.
Что делать, если скорости даны в разных единицах?
Приведите их к одним единицам до сложения. Например, 60 м/мин — это 3,6 км/ч, потому что за час участник проходит 60 × 60 = 3600 м, или 3,6 км. Складывать 60 м/мин и 4 км/ч как обычные числа нельзя.
Всегда ли найденное время отсчитывается от начала задачи?
Оно отсчитывается от того момента, для которого вы взяли оставшееся расстояние. Если вы сначала учли путь участника, вышедшего раньше, а затем разделили оставшееся расстояние на скорость сближения, найденное время начинается с выхода второго участника.