Задачи на комбинаторику спрашивают, сколько разных вариантов можно составить при заданных правилах. Чтобы не пропустить вариант и не посчитать один дважды, сначала решите, что считается одним вариантом, а затем перебирайте выбор в постоянном порядке. Например, если есть две футболки и три кепки, комплектов будет 2 × 3 = 6: к каждой футболке подходит каждая из трёх кепок.
Умножение подходит не всегда. Иногда варианты нужно сложить, а иногда порядок выбора меняет ответ. Ниже — маршрут от простого списка к более коротким вычислениям. Каждый новый способ проверим на конкретной задаче.
Шаг 1. Назовите, что именно считается
Есть две футболки — белая и синяя — и три кепки: красная, жёлтая и зелёная. Один вариант — это комплект из одной футболки и одной кепки. «Белая футболка с красной кепкой» и «синяя футболка с красной кепкой» — разные комплекты. А если мы сначала назвали кепку, а потом футболку, сам комплект от этого не изменился.
Полный список выглядит так:
- белая с красной, белая с жёлтой, белая с зелёной;
- синяя с красной, синяя с жёлтой, синяя с зелёной.
Получилось шесть комплектов. Чтобы убедиться, что список полный, проверяем его по строкам: для каждой футболки перечислены все три кепки. Чтобы избежать повторов, каждой футболке отведена своя строка.
В условии слова «разные варианты» сами по себе ещё не объясняют, что считать разным. Если меняется только порядок перечисления предметов, комплект остаётся тем же. Но в задаче про места в ряду порядок будет важен: «Аня слева, Боря справа» и «Боря слева, Аня справа» — разные рассадки.
Шаг 2. Для двух последовательных выборов умножьте числа возможностей
Когда комплектов много, длинный список можно заменить подсчётом. Есть три вида открыток и четыре цвета конвертов. Для каждого вида открытки можно выбрать любой из четырёх конвертов. Поэтому вариантов «открытка + конверт» будет 3 × 4 = 12.
Почему умножение здесь работает? Сначала выбираем открытку: три возможности. После каждой из них остаются те же четыре возможности для конверта. Получаются три группы по четыре варианта. Если в условии появится запрет, например «синюю открытку нельзя класть в синий конверт», простое 3 × 4 уже даст лишний вариант. Тогда сначала посчитайте все 12, затем уберите один запрещённый: останется 11.
Для проверки полезно представить маленькую таблицу: строки — открытки, столбцы — конверты. Каждая клетка обозначает одну пару. Если правило запрещает пару, зачеркните её клетку. Так видно, сколько вариантов осталось и не вычтен ли один запрет дважды.
Шаг 3. Складывайте непересекающиеся группы
В буфете можно выбрать один десерт: три вида печенья или два вида булочек. Сколько вариантов выбора? 3 + 2 = 5. Здесь не составляют пару «печенье + булочка», поэтому умножение не нужно. Человек берёт либо один из трёх видов печенья, либо один из двух видов булочек.
Слова «и» и «или» могут подсказать действие, но не заменяют чтение условия. «Выбрать открытку и конверт» означает пару — это группы по четыре варианта. «Выбрать открытку или конверт» означает один предмет из двух наборов — их количества складываются, если каждый предмет относится только к одному набору.
Посмотрим на задачу с несколькими шагами. Для школьной выставки можно сделать либо бумажный значок одного из двух цветов, либо закладку одного из трёх цветов. Выбирают одну поделку. Вариантов 2 + 3 = 5. Если же нужно сделать и значок, и закладку, получится 2 × 3 = 6 наборов. Предметы те же, но вопрос изменился — вместе с ним меняется и подсчёт.
Шаг 4. Проверьте, влияет ли порядок
Три человека — Аня, Боря и Вера — занимают три стула в ряд. Сколько разных рассадок возможно? На первый стул можно посадить любого из троих. На второй после этого остаются двое. На третий — один. Получаем 3 × 2 × 1 = 6 рассадок.
Перечислим их, чтобы проверить счёт: Аня—Боря—Вера, Аня—Вера—Боря, Боря—Аня—Вера, Боря—Вера—Аня, Вера—Аня—Боря, Вера—Боря—Аня. В каждой записи первое имя сидит слева, последнее — справа. Перестановка имён меняет места, поэтому это новый вариант.
Теперь из тех же трёх человек нужно выбрать двух дежурных, без отдельных ролей. Возможны пары Аня и Боря, Аня и Вера, Боря и Вера — всего три. Запись «Боря и Аня» не добавляет четвёртую пару: люди те же, должностей «первый» и «второй» нет.
Чтобы быстро различать такие условия, задайте вопрос: «Если поменять выбранных людей местами, изменится ли результат задачи?» Для стульев — да. Для пары дежурных — нет. Этот вопрос уберегает от частой ошибки, когда каждую пару считают в обоих порядках.
Шаг 5. Учтите запреты до окончательного ответа
В коробке лежат четыре карточки с буквами А, Б, В и Г. Нужно составить двухбуквенный код без повторения буквы. Порядок важен: АБ и БА — разные коды. Для первой позиции есть четыре выбора, для второй — три оставшихся. Итого 4 × 3 = 12 кодов.
Если разрешить повторение букв, для второй позиции снова будет четыре выбора. Тогда кодов станет 4 × 4 = 16. Четыре добавленных кода — АА, ББ, ВВ и ГГ. Этот короткий список показывает, почему ответы различаются.
Другой запрет: код из двух разных букв не должен начинаться с А. Для первой позиции остаются Б, В и Г — три выбора. После каждого остаются три буквы для второй позиции. Ответ: 3 × 3 = 9 кодов. Можно проверить иначе: всего кодов без повторов 12, из них начинаются с А ровно три — АБ, АВ, АГ. Значит, допустимых 12 − 3 = 9.
Важно понимать, к чему относится запрет. «Буква А не встречается» и «код не начинается с А» — разные правила. Во втором случае А разрешена на второй позиции: БА, ВА и ГА входят в ответ.
Шаг 6. Разбейте задачу на случаи, если число выборов меняется
Есть три маршрута из дома в парк: через мост, через сквер и вдоль реки. Из парка домой нужно вернуться другим маршрутом. Сколько получится поездок «туда и обратно»?
На дорогу туда есть три выбора. После каждого остаются два маршрута назад, потому что использованный повторять нельзя. Значит, вариантов 3 × 2 = 6. Перечислим их: мост—сквер, мост—река, сквер—мост, сквер—река, река—мост, река—сквер. Здесь «мост—сквер» и «сквер—мост» различаются: в первом случае через мост идут туда, во втором — обратно.
А теперь условие меняется: через мост можно идти только туда, но нельзя возвращаться. Сколько поездок получится, если маршрут обратно всё ещё должен отличаться от маршрута туда? Разбейте выбор по первому маршруту. Если туда идём через мост, обратно подходят сквер и река — два варианта. Если туда идём через сквер, обратно подходит только путь вдоль реки: мост для возвращения запрещён, сквер повторять нельзя. Если туда идём вдоль реки, обратно подходит только сквер. Всего 2 + 1 + 1 = 4 поездки.
Здесь нельзя просто умножить 3 × 2 и остановиться: после разных маршрутов туда остаётся разное число разрешённых путей назад. Разбиение на случаи показывает это сразу.
Как проверить подсчёт
После вычисления задайте три коротких вопроса. Все ли возможности первого выбора учтены? Для каждой из них перечислены ли допустимые продолжения? Не попал ли один и тот же итог в две группы? Эти вопросы особенно полезны в задачах, где есть запреты.
Если вариантов немного, сделайте список по одинаковому правилу: сначала все варианты с первым предметом, потом со вторым и так далее. При большом количестве достаточно выписать несколько первых строк и проверить, что каждая строка устроена одинаково. Затем можно считать числом строк и числом вариантов в строке.
Когда ребёнок путает «сколько предметов» и «какой по счёту», пригодится материал «Количественный и порядковый счёт: сколько и который по счёту». В комбинаторике это различие особенно видно на рассадке: число людей одинаковое, но место каждого меняет вариант.
Задачи для самостоятельной попытки
1. Есть два вида бумаги и три цвета ленты. Сколько разных наборов «один вид бумаги + один цвет ленты» можно составить? Ответ: 6. Для каждого из двух видов бумаги подходят три цвета ленты: 2 × 3 = 6.
2. Из четырёх открыток нужно выбрать одну для бабушки или одну из двух других открыток для дедушки. Отправят только одну открытку одному адресату; наборы открыток для адресатов не пересекаются. Сколько вариантов? Ответ: 6. Четыре выбора для бабушки и два для дедушки дают 4 + 2 = 6.
3. На два разных крючка вешают красную и синюю куртки, по одной на каждый. Сколько вариантов? Ответ: 2. Красная может быть на первом крючке, а синяя на втором, или наоборот. Порядок мест важен.
4. Из пяти разных значков выбирают два, чтобы положить в один конверт. Порядок значков внутри конверта не важен. Сколько пар? Ответ: 10. У каждого значка есть четыре возможных партнёра, поэтому при подсчёте 5 × 4 = 20 каждая пара встречается дважды: «первый значок — второй» и «второй — первый». Делим 20 на 2 и получаем 10.
Если ответ к последней задаче получился 20, выпишите одну пару в двух порядках. Оба раза в конверте окажутся те же два значка — это и есть лишний повтор.
Частые вопросы
Когда можно просто умножить количества вариантов?
Когда после каждого выбора первого предмета доступно одинаковое число вариантов второго и каждая получившаяся пара считается отдельным результатом. Если есть запреты, проверьте, одинаково ли они действуют для каждого первого выбора.
Почему в одних задачах АБ и БА различаются, а в других нет?
В коде первая и вторая позиции имеют значение, поэтому АБ и БА — разные записи. В паре значков без ролей и мест порядок перечисления ничего не меняет: это одна и та же пара.
Что делать, если трудно понять, складывать или умножать?
Опишите один готовый результат. Если он состоит из нескольких последовательных выборов — например, открытка и конверт, — посчитайте продолжения для каждого первого выбора. Если результатом служит один предмет из нескольких отдельных групп, сложите размеры этих групп.