Чтобы определить число действительных корней квадратного уравнения при заданном значении параметра, подставьте его в коэффициенты и вычислите дискриминант. Затем посмотрите на знак результата: сами корни находить не обязательно.
Ниже — два разбора и шесть задач для самостоятельной работы. Во всех восьми заданиях рассматривается одно уравнение, но значение параметра меняется.
Что означают буквы и как считать
Общий вид квадратного уравнения — ax² + bx + c = 0, где x — неизвестное, а a, b и c — коэффициенты. Чтобы уравнение оставалось квадратным, старший коэффициент a должен быть отличен от нуля.
Дискриминант обозначают буквой D и вычисляют по формуле D = b² − 4ac. Для квадратного уравнения при D < 0 действительных корней нет, при D = 0 есть один различный действительный корень, при D > 0 — два различных действительных корня. Это правило приведено в учебнике OpenStax.
В наших заданиях дано уравнение x² − 2px + 4 = 0. Буква p обозначает параметр: в каждом пункте ему уже задано конкретное значение. Поэтому a = 1, b = −2p, c = 4. Старший коэффициент не равен нулю ни при одном из заданных значений p.
Удобно сначала записать дискриминант через параметр:
D = (−2p)² − 4 · 1 · 4 = (−2p)² − 16.
Теперь можно подставлять нужное значение p и определять знак D.
Разбор 1. Параметр равен 1
Условие. Для уравнения x² − 2px + 4 = 0 при p = 1 определите число различных действительных корней.
Подставляем p = 1: коэффициент b равен −2. Получаем:
D = (−2)² − 16 = 4 − 16 = −12.
Дискриминант отрицательный, значит, различных действительных корней нет.
Проверка по самому уравнению: после подстановки имеем x² − 2x + 4 = 0. Его левая часть равна (x − 1)² + 3 и положительна при любом действительном x. Нулю она не равна.
Разбор 2. Параметр равен 2
Условие. Для уравнения x² − 2px + 4 = 0 при p = 2 определите число различных действительных корней.
Теперь b = −4, поэтому:
D = (−4)² − 16 = 16 − 16 = 0.
Дискриминант равен нулю. Ответ: один различный действительный корень.
Проверим: после подстановки получаем x² − 4x + 4 = 0, или (x − 2)² = 0. Этому условию соответствует только x = 2.
Ошибка со знаком коэффициента
При отрицательном p коэффициент b = −2p может оказаться положительным. Важно сначала вычислить весь коэффициент, а потом возвести его в квадрат. Например, в задаче с p = −1 получаем b = 2, а не −2.
При этом квадрат коэффициента не может быть отрицательным: скобки в записи (−2p)² помогают не потерять знак. После вычисления D отвечайте именно на вопрос о числе различных действительных корней: при D = 0 ответ равен единице.
Шесть задач для самостоятельной работы
В каждом пункте запишите коэффициент b, вычислите D и укажите число различных действительных корней.
- Для уравнения x² − 2px + 4 = 0 при p = 3 определите число различных действительных корней.
- Для уравнения x² − 2px + 4 = 0 при p = −1 определите число различных действительных корней.
- Для уравнения x² − 2px + 4 = 0 при p = −2 определите число различных действительных корней.
- Для уравнения x² − 2px + 4 = 0 при p = −3 определите число различных действительных корней.
- Для уравнения x² − 2px + 4 = 0 при p = 0 определите число различных действительных корней.
- Для уравнения x² − 2px + 4 = 0 при p = 4 определите число различных действительных корней.
Ответы и проверка
- Два корня. b = −6; D = (−6)² − 16 = 20 > 0.
- Корней нет. b = 2; D = 2² − 16 = −12 < 0.
- Один корень. b = 4; D = 4² − 16 = 0.
- Два корня. b = 6; D = 6² − 16 = 20 > 0.
- Корней нет. b = 0; D = 0² − 16 = −16 < 0.
- Два корня. b = −8; D = (−8)² − 16 = 48 > 0.
Для всех шести ответов проверка применимости правила одинакова: a = 1, поэтому уравнение действительно квадратное. Если трудно выделить данные и вопрос до начала вычислений, поможет материал о том, как помочь ребёнку разобраться в условии задачи.