В задаче на обратный ход известно, какое число получилось в конце нескольких действий, а найти нужно начальное. Начинайте с результата: отменяйте действия по одному, двигаясь от последнего к первому. Если в прямой цепочке прибавили 8, на обратном пути вычтите 8; если умножили на 3, разделите на 3.
Главная проверка — пройти исходную цепочку от найденного числа до указанного результата. Так сразу видно, где перепутаны порядок или знак действия. Разберём способ на одной задаче, а затем потренируемся на цепочках разной длины.
Прочитайте условие как маршрут
Пусть задумали число, умножили его на 4, прибавили 6, разделили результат на 2 и получили 15. Нужно найти задуманное число.
Сначала запишите только маршрут, сохраняя порядок слов в условии:
Начальное число → умножить на 4 → прибавить 6 → разделить на 2 → 15.
Теперь двигайтесь справа налево. Последним действием было деление на 2. Чтобы вернуться к числу перед делением, умножьте 15 на 2: получится 30. Перед этим прибавили 6, значит, вычтите 6: получится 24. Первым действием было умножение на 4, поэтому разделите 24 на 4: получится 6.
Ответ: задумали 6. Проверка в исходном порядке: 6 × 4 = 24; 24 + 6 = 30; 30 : 2 = 15. Конечное число совпало с условием.
Маршрут помогает не держать все действия в памяти. Если ребёнок пропустил шаг, сравните запись с каждым глаголом задачи: «умножили», «прибавили», «разделили». У каждого такого действия должно быть своё место.
Подбирайте обратное действие к конкретному шагу
Для обычных цепочек из сложения, вычитания, умножения и деления удобно держать рядом четыре пары:
| В прямой цепочке | На обратном пути |
|---|---|
| Прибавили число | Вычли то же число |
| Вычли число | Прибавили то же число |
| Умножили на число | Разделили на то же число |
| Разделили на число | Умножили на то же число |
Пары мало помнить сами по себе: нужно ещё идти в обратном порядке. Рассмотрим цепочку: из задуманного числа вычли 7, результат умножили на 5, затем прибавили 9 и получили 34. Обратный путь начинается с прибавления 9, потому что оно было последним: 34 − 9 = 25. Далее отменяем умножение: 25 : 5 = 5. Наконец, отменяем вычитание 7: 5 + 7 = 12.
Проверка: 12 − 7 = 5; 5 × 5 = 25; 25 + 9 = 34. Здесь легко ошибиться, если начать с действия «вычли 7»: оно стоит первым в рассказе, но на обратном пути до него доходят последним.
Отделяйте действия от пояснений
В длинном условии чисел может быть больше, чем шагов маршрута. Например: «В коробке было несколько карандашей. Положили ещё 12, после чего число карандашей увеличили в 2 раза, разложив такой же набор рядом. Затем 5 карандашей отдали. Осталось 31. Сколько карандашей было сначала?»
Для вычислений важны три действия: прибавили 12, удвоили количество, вычли 5. Слова о коробке и наборах помогают представить ситуацию, но не дают отдельного действия.
Обратный путь: 31 + 5 = 36; 36 : 2 = 18; 18 − 12 = 6. Сначала было 6 карандашей. Проверка: 6 + 12 = 18; 18 × 2 = 36; 36 − 5 = 31.
В этой задаче удвоение относится к количеству после добавления 12. Если сначала удвоить начальное количество, получится другой маршрут. Полезно спросить: «Сколько карандашей было непосредственно перед тем, как отдали пять?» Такой вопрос привязывает обратное действие к точному месту в истории.
Как работать с делением без угадывания
Допустим, число увеличили на 14, затем разделили на 3, после этого вычли 4 и получили 8. На обратном пути сначала верните вычтенные 4: 8 + 4 = 12. Затем отмените деление на 3: 12 × 3 = 36. Наконец, уберите прибавленные 14: 36 − 14 = 22.
Проверка: 22 + 14 = 36; 36 : 3 = 12; 12 − 4 = 8.
Иногда ребёнок пытается подобрать начало перебором: берёт одно число, проверяет, затем другое. Для короткой цепочки это возможно, но обратные действия дают ответ без догадок. На каждом шаге уже известно число после действия, и надо узнать число до него.
Если в промежуточной строке получается дробь, не объявляйте ответ ошибочным сразу. Сверьтесь с условием: допускаются ли в этой задаче дробные числа или речь идёт, например, о целых предметах? Затем ещё раз проверьте порядок действий и арифметику. Проверка прямым ходом покажет, удовлетворяет ли найденное число условию.
Где чаще всего сбивается решение
Отменяют действия в исходном порядке. В цепочке «прибавили 3, умножили на 2, получили 20» нельзя начинать обратный путь с вычитания 3. Сначала отменяют умножение: 20 : 2 = 10, потом сложение: 10 − 3 = 7. Проверка: (7 + 3) × 2 = 20.
Путают «увеличили на» и «увеличили в». «Увеличили на 4» означает прибавили 4; «увеличили в 4 раза» — умножили на 4. Поэтому для результата 20 обратные шаги различаются: после увеличения на 4 предыдущим числом было 16, а после увеличения в 4 раза — 5.
Объединяют соседние шаги слишком рано. В цепочке «вычли 6, затем разделили на 2» нельзя просто «вернуть 8»: действия зависят от порядка. Если получили 7, обратный путь такой: 7 × 2 = 14; 14 + 6 = 20. Прямая проверка: (20 − 6) : 2 = 7.
Записывают только ответ. Число может оказаться верным случайно, а способ — остаться непонятным. Достаточно коротких строк: «7 × 2 = 14», «14 + 6 = 20», затем одна проверка в прямом порядке.
Если трудность связана с тем, какое действие «отменяет» сложение или вычитание, поможет материал «Уравнения во 2 классе: как объяснить ребёнку неизвестное число». Здесь тот же смысл применяется несколько раз подряд.
Три задачи для самостоятельной тренировки
Попробуйте сначала составить для каждой задачи маршрут со стрелками. Ответы ниже даны вместе с обратными шагами и проверкой.
1. Задумали число. Прибавили к нему 9, результат умножили на 3, затем вычли 6. Получили 42. Какое число задумали?
Обратный путь: 42 + 6 = 48; 48 : 3 = 16; 16 − 9 = 7. Ответ: 7. Проверка: 7 + 9 = 16; 16 × 3 = 48; 48 − 6 = 42.
2. Задумали число. Умножили его на 6, вычли 8, затем разделили на 4. Получили 10. Найдите начальное число.
Обратный путь: 10 × 4 = 40; 40 + 8 = 48; 48 : 6 = 8. Ответ: 8. Проверка: 8 × 6 = 48; 48 − 8 = 40; 40 : 4 = 10.
3. От задуманного числа отняли 5, результат разделили на 3, затем прибавили 11. Получили 18. Какое число было в начале?
Обратный путь: 18 − 11 = 7; 7 × 3 = 21; 21 + 5 = 26. Ответ: 26. Проверка: 26 − 5 = 21; 21 : 3 = 7; 7 + 11 = 18.
После решения можно закрыть ответы и предложить ребёнку объяснить не только вычисления, но и выбор первого шага: «Почему от 42 мы сначала прибавляем 6?» Если он связывает этот шаг с последним действием в условии, принцип обратного хода уже понятен.
Когда записывать выражение
Маршрут со стрелками удобен, пока ребёнок осваивает способ. Позже ту же задачу можно записать одним выражением. Для первой задачи из упражнений это будет (42 + 6) : 3 − 9 = 7. Скобки здесь показывают: прежде чем делить, нужно вернуть 6, вычтенные в самом конце прямой цепочки.
Не стоит требовать выражение сразу, если из-за него теряется порядок. Сначала найдите число по шагам, затем соберите уже выполненные действия в одну строку. Так скобки отражают понятное решение, а не становятся отдельной загадкой.
Частые вопросы
Можно ли начинать с неизвестного и составлять уравнение?
Да. Например, первую задачу из упражнений можно записать так: (неизвестное число + 9) × 3 − 6 = 42. Обратный ход позволяет решить её последовательными действиями без преобразования всего уравнения. Для проверки подходят оба способа.
Что делать, если ребёнок путает порядок в длинном условии?
Попросите его сначала выписать только действия без вычислений: «прибавить», «умножить», «вычесть». Рядом отметьте конечное число. Затем закрывайте по одному действию с конца и записывайте соответствующий обратный шаг.
Достаточно ли совпадения конечного числа при проверке?
Да, если прямым ходом выполнены все действия из условия в нужном порядке и получается указанное конечное число. Лучше записать промежуточные результаты: тогда случайную арифметическую ошибку легче заметить.